Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99856 / 97743
↖ ↑ ↗
← S 65.891558°
E 94.262695°		 ← 124.76 m → S 65.891558°
E 94.265442°		 →
↑
124.74 m
↓
↑
124.74 m
↓
S 65.892680°
E 94.262695°		 ← 124.75 m →
15 562 m²		 S 65.892680°
E 94.265442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761844635009766 y=0.745723724365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761844635009766 × 217)
    floor (0.761844635009766 × 131072)
    floor (99856.5)     		tx = 99856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745723724365234 × 217)
    floor (0.745723724365234 × 131072)
    floor (97743.5)     		ty = 97743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99856 / 97743 ti = "17/99856/97743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99856/97743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99856 ÷ 217
    99856 ÷ 131072     		x = 0.7618408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97743 ÷ 217
    97743 ÷ 131072     		y = 0.745719909667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7618408203125 × 2 - 1) × π
    0.523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64519439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745719909667969 × 2 - 1) × π
    -0.491439819335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.54390372606315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64519439} λ = 1.64519439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54390372606315))-π/2
    2×atan(0.213545847695479)-π/2
    2×0.210385841455085-π/2
    0.420771682910169-1.57079632675     		φ = -1.15002464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64519439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.262695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15002464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.891558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99856 KachelY 97743 1.64519439 -1.15002464 94.262695 -65.891558
    Oben rechts KachelX + 1 99857 KachelY 97743 1.64524233 -1.15002464 94.265442 -65.891558
    Unten links KachelX 99856 KachelY + 1 97744 1.64519439 -1.15004422 94.262695 -65.892680
    Unten rechts KachelX + 1 99857 KachelY + 1 97744 1.64524233 -1.15004422 94.265442 -65.892680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15002464--1.15004422) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dl = 124.744180000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15002464--1.15004422) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dr = 124.744180000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64519439-1.64524233) × cos(-1.15002464) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.408464950256669 × 6371000     		do = 124.755709696702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64519439-1.64524233) × cos(-1.15004422) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.408447078063352 × 6371000     		du = 124.750251068833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15002464)-sin(-1.15004422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408464950256669-0.408447078063352)×R²
    abs(1.64524233-1.64519439)×1.78721933169479e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78721933169479e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78721933169479e-05×40589641000000     		ar = 15562.2082410376m²