Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99834 / 97726
↖ ↑ ↗
← S 65.872479°
E 94.202270°		 ← 124.85 m → S 65.872479°
E 94.205017°		 →
↑
124.87 m
↓
↑
124.87 m
↓
S 65.873602°
E 94.202270°		 ← 124.84 m →
15 590 m²		 S 65.873602°
E 94.205017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761676788330078 y=0.745594024658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761676788330078 × 217)
    floor (0.761676788330078 × 131072)
    floor (99834.5)     		tx = 99834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745594024658203 × 217)
    floor (0.745594024658203 × 131072)
    floor (97726.5)     		ty = 97726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99834 / 97726 ti = "17/99834/97726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99834/97726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99834 ÷ 217
    99834 ÷ 131072     		x = 0.761672973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97726 ÷ 217
    97726 ÷ 131072     		y = 0.745590209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761672973632812 × 2 - 1) × π
    0.523345947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64413978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745590209960938 × 2 - 1) × π
    -0.491180419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54308879876961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64413978} λ = 1.64413978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54308879876961))-π/2
    2×atan(0.213719942963046)-π/2
    2×0.210552337984857-π/2
    0.421104675969714-1.57079632675     		φ = -1.14969165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64413978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.202270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14969165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.872479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99834 KachelY 97726 1.64413978 -1.14969165 94.202270 -65.872479
    Oben rechts KachelX + 1 99835 KachelY 97726 1.64418772 -1.14969165 94.205017 -65.872479
    Unten links KachelX 99834 KachelY + 1 97727 1.64413978 -1.14971125 94.202270 -65.873602
    Unten rechts KachelX + 1 99835 KachelY + 1 97727 1.64418772 -1.14971125 94.205017 -65.873602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14969165--1.14971125) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dl = 124.871599999347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14969165--1.14971125) × R
    1.95999999998975e-05 × 6371000     		dr = 124.871599999347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64413978-1.64418772) × cos(-1.14969165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40876887222124 × 6371000     		do = 124.848535287056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64413978-1.64418772) × cos(-1.14971125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408750984439106 × 6371000     		du = 124.843071897961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14969165)-sin(-1.14971125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40876887222124-0.408750984439106)×R²
    abs(1.64418772-1.64413978)×1.7887782134518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7887782134518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7887782134518e-05×40589641000000     		ar = 15589.6952481543m²