Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99833 / 97753
↖ ↑ ↗
← S 65.902775°
E 94.199524°		 ← 124.68 m → S 65.902775°
E 94.202270°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.903896°
E 94.199524°		 ← 124.67 m →
15 544 m²		 S 65.903896°
E 94.202270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761669158935547 y=0.745800018310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761669158935547 × 217)
    floor (0.761669158935547 × 131072)
    floor (99833.5)     		tx = 99833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745800018310547 × 217)
    floor (0.745800018310547 × 131072)
    floor (97753.5)     		ty = 97753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99833 / 97753 ti = "17/99833/97753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99833/97753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99833 ÷ 217
    99833 ÷ 131072     		x = 0.761665344238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97753 ÷ 217
    97753 ÷ 131072     		y = 0.745796203613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.761665344238281 × 2 - 1) × π
    0.523330688476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.64409185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745796203613281 × 2 - 1) × π
    -0.491592407226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.54438309505935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64409185} λ = 1.64409185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54438309505935))-π/2
    2×atan(0.213443504968752)-π/2
    2×0.210287960155781-π/2
    0.420575920311562-1.57079632675     		φ = -1.15022041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64409185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.199524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15022041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.902775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99833 KachelY 97753 1.64409185 -1.15022041 94.199524 -65.902775
    Oben rechts KachelX + 1 99834 KachelY 97753 1.64413978 -1.15022041 94.202270 -65.902775
    Unten links KachelX 99833 KachelY + 1 97754 1.64409185 -1.15023998 94.199524 -65.903896
    Unten rechts KachelX + 1 99834 KachelY + 1 97754 1.64413978 -1.15023998 94.202270 -65.903896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15022041--1.15023998) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dl = 124.680470000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15022041--1.15023998) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dr = 124.680470000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64409185-1.64413978) × cos(-1.15022041) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408286248663437 × 6371000     		do = 124.675117713028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64409185-1.64413978) × cos(-1.15023998) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408268384033398 × 6371000     		du = 124.669662533334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15022041)-sin(-1.15023998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408286248663437-0.408268384033398)×R²
    abs(1.64413978-1.64409185)×1.7864630039055e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7864630039055e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7864630039055e-05×40589641000000     		ar = 15544.2121970525m²