Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9981 / 6939
↖ ↑ ↗
← N 71.430678°
W 70.345459°		 ← 389.01 m → N 71.430678°
W 70.334473°		 →
↑
389.08 m
↓
↑
389.08 m
↓
N 71.427179°
W 70.345459°		 ← 389.08 m →
151 370 m²		 N 71.427179°
W 70.334473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.304611206054688 y=0.211776733398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.304611206054688 × 215)
    floor (0.304611206054688 × 32768)
    floor (9981.5)     		tx = 9981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211776733398438 × 215)
    floor (0.211776733398438 × 32768)
    floor (6939.5)     		ty = 6939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9981 / 6939 ti = "15/9981/6939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9981/6939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9981 ÷ 215
    9981 ÷ 32768     		x = 0.304595947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6939 ÷ 215
    6939 ÷ 32768     		y = 0.211761474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.304595947265625 × 2 - 1) × π
    -0.39080810546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.22775987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211761474609375 × 2 - 1) × π
    0.57647705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.81105606764572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22775987} λ = -1.22775987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81105606764572))-π/2
    2×atan(6.11690388669094)-π/2
    2×1.40874842122725-π/2
    2.81749684245449-1.57079632675     		φ = 1.24670052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22775987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.345459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24670052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.430678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9981 KachelY 6939 -1.22775987 1.24670052 -70.345459 71.430678
    Oben rechts KachelX + 1 9982 KachelY 6939 -1.22756813 1.24670052 -70.334473 71.430678
    Unten links KachelX 9981 KachelY + 1 6940 -1.22775987 1.24663945 -70.345459 71.427179
    Unten rechts KachelX + 1 9982 KachelY + 1 6940 -1.22756813 1.24663945 -70.334473 71.427179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24670052-1.24663945) × R
    6.10700000001074e-05 × 6371000     		dl = 389.076970000684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24670052-1.24663945) × R
    6.10700000001074e-05 × 6371000     		dr = 389.076970000684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22775987--1.22756813) × cos(1.24670052) × R
    0.000191739999999996 × 0.318451796098231 × 6371000     		do = 389.012924782657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22775987--1.22756813) × cos(1.24663945) × R
    0.000191739999999996 × 0.318509686142494 × 6371000     		du = 389.083641844739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24670052)-sin(1.24663945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318451796098231-0.318509686142494)×R²
    abs(-1.22756813--1.22775987)×5.78900442633201e-05×R²
    0.000191739999999996×5.78900442633201e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.78900442633201e-05×40589641000000     		ar = 151369.727303113m²