Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9980 / 10519
↖ ↑ ↗
← S 45.444717°
E 39.287109°		 ← 1 714.20 m → S 45.444717°
E 39.309082°		 →
↑
1 713.93 m
↓
↑
1 713.93 m
↓
S 45.460131°
E 39.287109°		 ← 1 713.73 m →
2 937 606 m²		 S 45.460131°
E 39.309082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609161376953125 y=0.642059326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609161376953125 × 214)
    floor (0.609161376953125 × 16384)
    floor (9980.5)     		tx = 9980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642059326171875 × 214)
    floor (0.642059326171875 × 16384)
    floor (10519.5)     		ty = 10519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9980 / 10519 ti = "14/9980/10519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9980/10519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9980 ÷ 214
    9980 ÷ 16384     		x = 0.609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10519 ÷ 214
    10519 ÷ 16384     		y = 0.64202880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.609130859375 × 2 - 1) × π
    0.21826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68568941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64202880859375 × 2 - 1) × π
    -0.2840576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.892393323326965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68568941} λ = 0.68568941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.892393323326965))-π/2
    2×atan(0.409674095939583)-π/2
    2×0.388818195581548-π/2
    0.777636391163096-1.57079632675     		φ = -0.79315994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68568941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.287109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79315994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.444717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9980 KachelY 10519 0.68568941 -0.79315994 39.287109 -45.444717
    Oben rechts KachelX + 1 9981 KachelY 10519 0.68607291 -0.79315994 39.309082 -45.444717
    Unten links KachelX 9980 KachelY + 1 10520 0.68568941 -0.79342896 39.287109 -45.460131
    Unten rechts KachelX + 1 9981 KachelY + 1 10520 0.68607291 -0.79342896 39.309082 -45.460131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79315994--0.79342896) × R
    0.000269019999999953 × 6371000     		dl = 1713.9264199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79315994--0.79342896) × R
    0.000269019999999953 × 6371000     		dr = 1713.9264199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68568941-0.68607291) × cos(-0.79315994) × R
    0.000383499999999981 × 0.701597131645665 × 6371000     		do = 1714.19718741144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68568941-0.68607291) × cos(-0.79342896) × R
    0.000383499999999981 × 0.701405409648006 × 6371000     		du = 1713.72875717658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79315994)-sin(-0.79342896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.701597131645665-0.701405409648006)×R²
    abs(0.68607291-0.68568941)×0.000191721997658267×R²
    0.000383499999999981×0.000191721997658267×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191721997658267×40589641000000     		ar = 2937606.43883349m²