Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 998 / 613
↖ ↑ ↗
← N 77.370301°
W 92.285156°		 ← 2 136.85 m → N 77.370301°
W 92.197266°		 →
↑
2 138.49 m
↓
↑
2 138.49 m
↓
N 77.351069°
W 92.285156°		 ← 2 140.06 m →
4 573 064 m²		 N 77.351069°
W 92.197266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2437744140625 y=0.1497802734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2437744140625 × 212)
    floor (0.2437744140625 × 4096)
    floor (998.5)     		tx = 998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1497802734375 × 212)
    floor (0.1497802734375 × 4096)
    floor (613.5)     		ty = 613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 998 / 613 ti = "12/998/613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/998/613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 998 ÷ 212
    998 ÷ 4096     		x = 0.24365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 613 ÷ 212
    613 ÷ 4096     		y = 0.149658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.24365234375 × 2 - 1) × π
    -0.5126953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.61067983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.149658203125 × 2 - 1) × π
    0.70068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.20126243055298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.61067983} λ = -1.61067983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20126243055298))-π/2
    2×atan(9.0364141469656)-π/2
    2×1.46058141279715-π/2
    2.9211628255943-1.57079632675     		φ = 1.35036650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.61067983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -92.285156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35036650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.370301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 998 KachelY 613 -1.61067983 1.35036650 -92.285156 77.370301
    Oben rechts KachelX + 1 999 KachelY 613 -1.60914585 1.35036650 -92.197266 77.370301
    Unten links KachelX 998 KachelY + 1 614 -1.61067983 1.35003084 -92.285156 77.351069
    Unten rechts KachelX + 1 999 KachelY + 1 614 -1.60914585 1.35003084 -92.197266 77.351069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35036650-1.35003084) × R
    0.00033565999999996 × 6371000     		dl = 2138.48985999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35036650-1.35003084) × R
    0.00033565999999996 × 6371000     		dr = 2138.48985999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.61067983--1.60914585) × cos(1.35036650) × R
    0.00153398000000005 × 0.218649069781668 × 6371000     		do = 2136.85442470579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.61067983--1.60914585) × cos(1.35003084) × R
    0.00153398000000005 × 0.218976595680542 × 6371000     		du = 2140.05533092008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35036650)-sin(1.35003084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218649069781668-0.218976595680542)×R²
    abs(-1.60914585--1.61067983)×0.000327525898873249×R²
    0.00153398000000005×0.000327525898873249×6371000²
    0.00153398000000005×0.000327525898873249×40589641000000     		ar = 4573064.11520499m²