Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9978 / 10422
↖ ↑ ↗
← S 43.929550°
E 39.243164°		 ← 1 759.63 m → S 43.929550°
E 39.265137°		 →
↑
1 759.35 m
↓
↑
1 759.35 m
↓
S 43.945372°
E 39.243164°		 ← 1 759.16 m →
3 095 401 m²		 S 43.945372°
E 39.265137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9978 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.609039306640625 y=0.636138916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.609039306640625 × 214)
    floor (0.609039306640625 × 16384)
    floor (9978.5)     		tx = 9978
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.636138916015625 × 214)
    floor (0.636138916015625 × 16384)
    floor (10422.5)     		ty = 10422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9978 / 10422 ti = "14/9978/10422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9978/10422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9978 ÷ 214
    9978 ÷ 16384     		x = 0.6090087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10422 ÷ 214
    10422 ÷ 16384     		y = 0.6361083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6090087890625 × 2 - 1) × π
    0.218017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68492242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.272216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.855194289221802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68492242} λ = 0.68492242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.855194289221802))-π/2
    2×atan(0.425200571168373)-π/2
    2×0.402040520758381-π/2
    0.804081041516763-1.57079632675     		φ = -0.76671529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68492242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.243164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76671529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.929550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9978 KachelY 10422 0.68492242 -0.76671529 39.243164 -43.929550
    Oben rechts KachelX + 1 9979 KachelY 10422 0.68530592 -0.76671529 39.265137 -43.929550
    Unten links KachelX 9978 KachelY + 1 10423 0.68492242 -0.76699144 39.243164 -43.945372
    Unten rechts KachelX + 1 9979 KachelY + 1 10423 0.68530592 -0.76699144 39.265137 -43.945372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76671529--0.76699144) × R
    0.00027614999999992 × 6371000     		dl = 1759.35164999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76671529--0.76699144) × R
    0.00027614999999992 × 6371000     		dr = 1759.35164999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68492242-0.68530592) × cos(-0.76671529) × R
    0.000383499999999981 × 0.72019339499839 × 6371000     		do = 1759.63303784149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68492242-0.68530592) × cos(-0.76699144) × R
    0.000383499999999981 × 0.720001782027159 × 6371000     		du = 1759.16487398856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76671529)-sin(-0.76699144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72019339499839-0.720001782027159)×R²
    abs(0.68530592-0.68492242)×0.000191612971231048×R²
    0.000383499999999981×0.000191612971231048×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191612971231048×40589641000000     		ar = 3095401.47576748m²