Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9977 / 10514
↖ ↑ ↗
← S 45.367584°
E 39.221192°		 ← 1 716.49 m → S 45.367584°
E 39.243164°		 →
↑
1 716.28 m
↓
↑
1 716.28 m
↓
S 45.383019°
E 39.221192°		 ← 1 716.03 m →
2 945 590 m²		 S 45.383019°
E 39.243164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608978271484375 y=0.641754150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608978271484375 × 214)
    floor (0.608978271484375 × 16384)
    floor (9977.5)     		tx = 9977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641754150390625 × 214)
    floor (0.641754150390625 × 16384)
    floor (10514.5)     		ty = 10514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9977 / 10514 ti = "14/9977/10514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9977/10514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9977 ÷ 214
    9977 ÷ 16384     		x = 0.60894775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10514 ÷ 214
    10514 ÷ 16384     		y = 0.6417236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60894775390625 × 2 - 1) × π
    0.2178955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68453893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.283447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.890475847342163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68453893} λ = 0.68453893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890475847342163))-π/2
    2×atan(0.410460389789014)-π/2
    2×0.389491302950018-π/2
    0.778982605900035-1.57079632675     		φ = -0.79181372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68453893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.221192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79181372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.367584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9977 KachelY 10514 0.68453893 -0.79181372 39.221192 -45.367584
    Oben rechts KachelX + 1 9978 KachelY 10514 0.68492242 -0.79181372 39.243164 -45.367584
    Unten links KachelX 9977 KachelY + 1 10515 0.68453893 -0.79208311 39.221192 -45.383019
    Unten rechts KachelX + 1 9978 KachelY + 1 10515 0.68492242 -0.79208311 39.243164 -45.383019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79181372--0.79208311) × R
    0.000269389999999925 × 6371000     		dl = 1716.28368999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79181372--0.79208311) × R
    0.000269389999999925 × 6371000     		dr = 1716.28368999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68453893-0.68492242) × cos(-0.79181372) × R
    0.000383490000000042 × 0.702555776743856 × 6371000     		do = 1716.49466454071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68453893-0.68492242) × cos(-0.79208311) × R
    0.000383490000000042 × 0.702364045603044 × 6371000     		du = 1716.02622418178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79181372)-sin(-0.79208311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702555776743856-0.702364045603044)×R²
    abs(0.68492242-0.68453893)×0.000191731140811835×R²
    0.000383490000000042×0.000191731140811835×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191731140811835×40589641000000     		ar = 2945589.82626142m²