Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9976 / 10509
↖ ↑ ↗
← S 45.290347°
E 39.199219°		 ← 1 718.88 m → S 45.290347°
E 39.221192°		 →
↑
1 718.64 m
↓
↑
1 718.64 m
↓
S 45.305803°
E 39.199219°		 ← 1 718.41 m →
2 953 738 m²		 S 45.305803°
E 39.221192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608917236328125 y=0.641448974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608917236328125 × 214)
    floor (0.608917236328125 × 16384)
    floor (9976.5)     		tx = 9976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641448974609375 × 214)
    floor (0.641448974609375 × 16384)
    floor (10509.5)     		ty = 10509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9976 / 10509 ti = "14/9976/10509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9976/10509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9976 ÷ 214
    9976 ÷ 16384     		x = 0.60888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10509 ÷ 214
    10509 ÷ 16384     		y = 0.64141845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60888671875 × 2 - 1) × π
    0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64141845703125 × 2 - 1) × π
    -0.2828369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.888558371357361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68415543} λ = 0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.888558371357361))-π/2
    2×atan(0.411248192784432)-π/2
    2×0.390165329420809-π/2
    0.780330658841617-1.57079632675     		φ = -0.79046567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79046567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.290347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9976 KachelY 10509 0.68415543 -0.79046567 39.199219 -45.290347
    Oben rechts KachelX + 1 9977 KachelY 10509 0.68453893 -0.79046567 39.221192 -45.290347
    Unten links KachelX 9976 KachelY + 1 10510 0.68415543 -0.79073543 39.199219 -45.305803
    Unten rechts KachelX + 1 9977 KachelY + 1 10510 0.68453893 -0.79073543 39.221192 -45.305803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79046567--0.79073543) × R
    0.000269760000000008 × 6371000     		dl = 1718.64096000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79046567--0.79073543) × R
    0.000269760000000008 × 6371000     		dr = 1718.64096000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68415543-0.68453893) × cos(-0.79046567) × R
    0.000383499999999981 × 0.703514449141908 × 6371000     		do = 1718.88172802768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68415543-0.68453893) × cos(-0.79073543) × R
    0.000383499999999981 × 0.703322710252269 × 6371000     		du = 1718.41325652101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79046567)-sin(-0.79073543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.703514449141908-0.703322710252269)×R²
    abs(0.68453893-0.68415543)×0.00019173888963897×R²
    0.000383499999999981×0.00019173888963897×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019173888963897×40589641000000     		ar = 2953737.99393598m²