Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9976 / 10382
↖ ↑ ↗
← S 43.293200°
E 39.199219°		 ← 1 778.35 m → S 43.293200°
E 39.221192°		 →
↑
1 778.08 m
↓
↑
1 778.08 m
↓
S 43.309191°
E 39.199219°		 ← 1 777.88 m →
3 161 638 m²		 S 43.309191°
E 39.221192°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608917236328125 y=0.633697509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608917236328125 × 214)
    floor (0.608917236328125 × 16384)
    floor (9976.5)     		tx = 9976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633697509765625 × 214)
    floor (0.633697509765625 × 16384)
    floor (10382.5)     		ty = 10382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9976 / 10382 ti = "14/9976/10382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9976/10382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9976 ÷ 214
    9976 ÷ 16384     		x = 0.60888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10382 ÷ 214
    10382 ÷ 16384     		y = 0.6336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60888671875 × 2 - 1) × π
    0.2177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68415543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839854481343384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68415543} λ = 0.68415543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839854481343384))-π/2
    2×atan(0.4317733499356)-π/2
    2×0.407593718805097-π/2
    0.815187437610194-1.57079632675     		φ = -0.75560889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68415543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.199219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75560889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.293200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9976 KachelY 10382 0.68415543 -0.75560889 39.199219 -43.293200
    Oben rechts KachelX + 1 9977 KachelY 10382 0.68453893 -0.75560889 39.221192 -43.293200
    Unten links KachelX 9976 KachelY + 1 10383 0.68415543 -0.75588798 39.199219 -43.309191
    Unten rechts KachelX + 1 9977 KachelY + 1 10383 0.68453893 -0.75588798 39.221192 -43.309191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75560889--0.75588798) × R
    0.000279090000000037 × 6371000     		dl = 1778.08239000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75560889--0.75588798) × R
    0.000279090000000037 × 6371000     		dr = 1778.08239000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68415543-0.68453893) × cos(-0.75560889) × R
    0.000383499999999981 × 0.727854142788759 × 6371000     		do = 1778.35037821162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68415543-0.68453893) × cos(-0.75588798) × R
    0.000383499999999981 × 0.727662733506539 × 6371000     		du = 1777.88271202767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75560889)-sin(-0.75588798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.727854142788759-0.727662733506539)×R²
    abs(0.68453893-0.68415543)×0.000191409282220723×R²
    0.000383499999999981×0.000191409282220723×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191409282220723×40589641000000     		ar = 3161637.73676878m²