Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99752 / 100760
↖ ↑ ↗
← S 69.060712°
E 93.977051°		 ← 109.13 m → S 69.060712°
E 93.979797°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
S 69.061694°
E 93.977051°		 ← 109.12 m →
11 910 m²		 S 69.061694°
E 93.979797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.761051177978516 y=0.768741607666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.761051177978516 × 217)
    floor (0.761051177978516 × 131072)
    floor (99752.5)     		tx = 99752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768741607666016 × 217)
    floor (0.768741607666016 × 131072)
    floor (100760.5)     		ty = 100760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99752 / 100760 ti = "17/99752/100760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99752/100760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99752 ÷ 217
    99752 ÷ 131072     		x = 0.76104736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100760 ÷ 217
    100760 ÷ 131072     		y = 0.76873779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76104736328125 × 2 - 1) × π
    0.5220947265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.64020896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76873779296875 × 2 - 1) × π
    -0.5374755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68852935221686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64020896} λ = 1.64020896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68852935221686))-π/2
    2×atan(0.184791086859615)-π/2
    2×0.182729758987971-π/2
    0.365459517975943-1.57079632675     		φ = -1.20533681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64020896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.977051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20533681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.060712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99752 KachelY 100760 1.64020896 -1.20533681 93.977051 -69.060712
    Oben rechts KachelX + 1 99753 KachelY 100760 1.64025689 -1.20533681 93.979797 -69.060712
    Unten links KachelX 99752 KachelY + 1 100761 1.64020896 -1.20535394 93.977051 -69.061694
    Unten rechts KachelX + 1 99753 KachelY + 1 100761 1.64025689 -1.20535394 93.979797 -69.061694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20533681--1.20535394) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20533681--1.20535394) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64020896-1.64025689) × cos(-1.20533681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357378502332637 × 6371000     		do = 109.12982495072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64020896-1.64025689) × cos(-1.20535394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357362503551598 × 6371000     		du = 109.124939530465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20533681)-sin(-1.20535394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357378502332637-0.357362503551598)×R²
    abs(1.64025689-1.64020896)×1.59987810382511e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59987810382511e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59987810382511e-05×40589641000000     		ar = 11909.6419604182m²