Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9975 / 10361
↖ ↑ ↗
← S 42.956423°
E 39.177246°		 ← 1 788.12 m → S 42.956423°
E 39.199219°		 →
↑
1 787.89 m
↓
↑
1 787.89 m
↓
S 42.972502°
E 39.177246°		 ← 1 787.65 m →
3 196 553 m²		 S 42.972502°
E 39.199219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608856201171875 y=0.632415771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608856201171875 × 214)
    floor (0.608856201171875 × 16384)
    floor (9975.5)     		tx = 9975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632415771484375 × 214)
    floor (0.632415771484375 × 16384)
    floor (10361.5)     		ty = 10361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9975 / 10361 ti = "14/9975/10361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9975/10361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9975 ÷ 214
    9975 ÷ 16384     		x = 0.60882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10361 ÷ 214
    10361 ÷ 16384     		y = 0.63238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60882568359375 × 2 - 1) × π
    0.2176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68377194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.2647705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.831801082207214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68377194} λ = 0.68377194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.831801082207214))-π/2
    2×atan(0.435264632535571)-π/2
    2×0.410532659558128-π/2
    0.821065319116257-1.57079632675     		φ = -0.74973101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68377194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.177246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74973101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.956423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9975 KachelY 10361 0.68377194 -0.74973101 39.177246 -42.956423
    Oben rechts KachelX + 1 9976 KachelY 10361 0.68415543 -0.74973101 39.199219 -42.956423
    Unten links KachelX 9975 KachelY + 1 10362 0.68377194 -0.75001164 39.177246 -42.972502
    Unten rechts KachelX + 1 9976 KachelY + 1 10362 0.68415543 -0.75001164 39.199219 -42.972502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74973101--0.75001164) × R
    0.000280630000000004 × 6371000     		dl = 1787.89373000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74973101--0.75001164) × R
    0.000280630000000004 × 6371000     		dr = 1787.89373000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68377194-0.68415543) × cos(-0.74973101) × R
    0.000383490000000042 × 0.731872196410768 × 6371000     		do = 1788.12097466077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68377194-0.68415543) × cos(-0.75001164) × R
    0.000383490000000042 × 0.731680934549086 × 6371000     		du = 1787.65368085155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74973101)-sin(-0.75001164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731872196410768-0.731680934549086)×R²
    abs(0.68415543-0.68377194)×0.000191261861681391×R²
    0.000383490000000042×0.000191261861681391×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191261861681391×40589641000000     		ar = 3196552.56421968m²