Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99738 / 100842
↖ ↑ ↗
← S 69.141053°
E 93.938599°		 ← 108.75 m → S 69.141053°
E 93.941345°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
S 69.142031°
E 93.938599°		 ← 108.75 m →
11 820 m²		 S 69.142031°
E 93.941345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100842 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760944366455078 y=0.769367218017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760944366455078 × 217)
    floor (0.760944366455078 × 131072)
    floor (99738.5)     		tx = 99738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769367218017578 × 217)
    floor (0.769367218017578 × 131072)
    floor (100842.5)     		ty = 100842
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99738 / 100842 ti = "17/99738/100842"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99738/100842.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99738 ÷ 217
    99738 ÷ 131072     		x = 0.760940551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100842 ÷ 217
    100842 ÷ 131072     		y = 0.769363403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760940551757812 × 2 - 1) × π
    0.521881103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63953784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769363403320312 × 2 - 1) × π
    -0.538726806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.6924601779857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63953784} λ = 1.63953784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6924601779857))-π/2
    2×atan(0.184066131064459)-π/2
    2×0.182028650656435-π/2
    0.36405730131287-1.57079632675     		φ = -1.20673903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63953784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.938599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20673903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.141053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99738 KachelY 100842 1.63953784 -1.20673903 93.938599 -69.141053
    Oben rechts KachelX + 1 99739 KachelY 100842 1.63958578 -1.20673903 93.941345 -69.141053
    Unten links KachelX 99738 KachelY + 1 100843 1.63953784 -1.20675609 93.938599 -69.142031
    Unten rechts KachelX + 1 99739 KachelY + 1 100843 1.63958578 -1.20675609 93.941345 -69.142031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20673903--1.20675609) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20673903--1.20675609) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63953784-1.63958578) × cos(-1.20673903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356068534535225 × 6371000     		do = 108.752495651065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63953784-1.63958578) × cos(-1.20675609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356052592598483 × 6371000     		du = 108.747626573239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20673903)-sin(-1.20675609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356068534535225-0.356052592598483)×R²
    abs(1.63958578-1.63953784)×1.5941936741426e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5941936741426e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5941936741426e-05×40589641000000     		ar = 11819.9636676229m²