Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9973 / 10400
↖ ↑ ↗
← S 43.580391°
E 39.133301°		 ← 1 769.88 m → S 43.580391°
E 39.155273°		 →
↑
1 769.67 m
↓
↑
1 769.67 m
↓
S 43.596306°
E 39.133301°		 ← 1 769.42 m →
3 131 701 m²		 S 43.596306°
E 39.155273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608734130859375 y=0.634796142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608734130859375 × 214)
    floor (0.608734130859375 × 16384)
    floor (9973.5)     		tx = 9973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634796142578125 × 214)
    floor (0.634796142578125 × 16384)
    floor (10400.5)     		ty = 10400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9973 / 10400 ti = "14/9973/10400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9973/10400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9973 ÷ 214
    9973 ÷ 16384     		x = 0.60870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10400 ÷ 214
    10400 ÷ 16384     		y = 0.634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60870361328125 × 2 - 1) × π
    0.2174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68300495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634765625 × 2 - 1) × π
    -0.26953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.846757394888672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68300495} λ = 0.68300495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.846757394888672))-π/2
    2×atan(0.428803119246996)-π/2
    2×0.405087508538022-π/2
    0.810175017076043-1.57079632675     		φ = -0.76062131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68300495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.133301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76062131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.580391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9973 KachelY 10400 0.68300495 -0.76062131 39.133301 -43.580391
    Oben rechts KachelX + 1 9974 KachelY 10400 0.68338844 -0.76062131 39.155273 -43.580391
    Unten links KachelX 9973 KachelY + 1 10401 0.68300495 -0.76089908 39.133301 -43.596306
    Unten rechts KachelX + 1 9974 KachelY + 1 10401 0.68338844 -0.76089908 39.155273 -43.596306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76062131--0.76089908) × R
    0.000277769999999955 × 6371000     		dl = 1769.67266999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76062131--0.76089908) × R
    0.000277769999999955 × 6371000     		dr = 1769.67266999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68300495-0.68338844) × cos(-0.76062131) × R
    0.000383489999999931 × 0.724407837082572 × 6371000     		do = 1769.88394155173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68300495-0.68338844) × cos(-0.76089908) × R
    0.000383489999999931 × 0.724216322372776 × 6371000     		du = 1769.41602998025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76062131)-sin(-0.76089908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724407837082572-0.724216322372776)×R²
    abs(0.68338844-0.68300495)×0.00019151470979617×R²
    0.000383489999999931×0.00019151470979617×6371000²
    0.000383489999999931×0.00019151470979617×40589641000000     		ar = 3131701.23541002m²