Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99728 / 100783
↖ ↑ ↗
← S 69.083276°
E 93.911133°		 ← 109.04 m → S 69.083276°
E 93.913879°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
S 69.084257°
E 93.911133°		 ← 109.04 m →
11 893 m²		 S 69.084257°
E 93.913879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760868072509766 y=0.768917083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760868072509766 × 217)
    floor (0.760868072509766 × 131072)
    floor (99728.5)     		tx = 99728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768917083740234 × 217)
    floor (0.768917083740234 × 131072)
    floor (100783.5)     		ty = 100783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99728 / 100783 ti = "17/99728/100783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99728/100783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99728 ÷ 217
    99728 ÷ 131072     		x = 0.7608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100783 ÷ 217
    100783 ÷ 131072     		y = 0.768913269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7608642578125 × 2 - 1) × π
    0.521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.63905847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768913269042969 × 2 - 1) × π
    -0.537826538085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.68963190090812
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63905847} λ = 1.63905847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68963190090812))-π/2
    2×atan(0.184587457964655)-π/2
    2×0.182532846793627-π/2
    0.365065693587253-1.57079632675     		φ = -1.20573063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63905847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.911133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20573063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.083276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99728 KachelY 100783 1.63905847 -1.20573063 93.911133 -69.083276
    Oben rechts KachelX + 1 99729 KachelY 100783 1.63910641 -1.20573063 93.913879 -69.083276
    Unten links KachelX 99728 KachelY + 1 100784 1.63905847 -1.20574775 93.911133 -69.084257
    Unten rechts KachelX + 1 99729 KachelY + 1 100784 1.63910641 -1.20574775 93.913879 -69.084257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20573063--1.20574775) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20573063--1.20574775) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63905847-1.63910641) × cos(-1.20573063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357010662643704 × 6371000     		do = 109.040245825772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63905847-1.63910641) × cos(-1.20574775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3569946707941 × 6371000     		du = 109.035361503273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20573063)-sin(-1.20574775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357010662643704-0.3569946707941)×R²
    abs(1.63910641-1.63905847)×1.59918496035472e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59918496035472e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59918496035472e-05×40589641000000     		ar = 11892.9189836218m²