Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99726 / 100778
↖ ↑ ↗
← S 69.078373°
E 93.905640°		 ← 109.04 m → S 69.078373°
E 93.908386°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
S 69.079354°
E 93.905640°		 ← 109.04 m →
11 893 m²		 S 69.079354°
E 93.908386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100778 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760852813720703 y=0.768878936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760852813720703 × 217)
    floor (0.760852813720703 × 131072)
    floor (99726.5)     		tx = 99726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768878936767578 × 217)
    floor (0.768878936767578 × 131072)
    floor (100778.5)     		ty = 100778
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99726 / 100778 ti = "17/99726/100778"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99726/100778.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99726 ÷ 217
    99726 ÷ 131072     		x = 0.760848999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100778 ÷ 217
    100778 ÷ 131072     		y = 0.768875122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760848999023438 × 2 - 1) × π
    0.521697998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63896260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768875122070312 × 2 - 1) × π
    -0.537750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.68939221641002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63896260} λ = 1.63896260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68939221641002))-π/2
    2×atan(0.184631706019447)-π/2
    2×0.182575636543868-π/2
    0.365151273087735-1.57079632675     		φ = -1.20564505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63896260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.905640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20564505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.078373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99726 KachelY 100778 1.63896260 -1.20564505 93.905640 -69.078373
    Oben rechts KachelX + 1 99727 KachelY 100778 1.63901053 -1.20564505 93.908386 -69.078373
    Unten links KachelX 99726 KachelY + 1 100779 1.63896260 -1.20566217 93.905640 -69.079354
    Unten rechts KachelX + 1 99727 KachelY + 1 100779 1.63901053 -1.20566217 93.908386 -69.079354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20564505--1.20566217) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20564505--1.20566217) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63896260-1.63901053) × cos(-1.20564505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357090601640665 × 6371000     		do = 109.041911010982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63896260-1.63901053) × cos(-1.20566217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357074610314175 × 6371000     		du = 109.037027867062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20564505)-sin(-1.20566217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357090601640665-0.357074610314175)×R²
    abs(1.63901053-1.63896260)×1.59913264898282e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.59913264898282e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.59913264898282e-05×40589641000000     		ar = 11893.1006720562m²