Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99724 / 100718
↖ ↑ ↗
← S 69.019447°
E 93.900146°		 ← 109.36 m → S 69.019447°
E 93.902893°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 69.020431°
E 93.900146°		 ← 109.35 m →
11 962 m²		 S 69.020431°
E 93.902893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760837554931641 y=0.768421173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760837554931641 × 217)
    floor (0.760837554931641 × 131072)
    floor (99724.5)     		tx = 99724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768421173095703 × 217)
    floor (0.768421173095703 × 131072)
    floor (100718.5)     		ty = 100718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99724 / 100718 ti = "17/99724/100718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99724/100718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99724 ÷ 217
    99724 ÷ 131072     		x = 0.760833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100718 ÷ 217
    100718 ÷ 131072     		y = 0.768417358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760833740234375 × 2 - 1) × π
    0.52166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63886672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768417358398438 × 2 - 1) × π
    -0.536834716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68651600243282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63886672} λ = 1.63886672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68651600243282))-π/2
    2×atan(0.185163510738401)-π/2
    2×0.183089861383145-π/2
    0.366179722766291-1.57079632675     		φ = -1.20461660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63886672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.900146°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20461660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.019447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99724 KachelY 100718 1.63886672 -1.20461660 93.900146 -69.019447
    Oben rechts KachelX + 1 99725 KachelY 100718 1.63891466 -1.20461660 93.902893 -69.019447
    Unten links KachelX 99724 KachelY + 1 100719 1.63886672 -1.20463377 93.900146 -69.020431
    Unten rechts KachelX + 1 99725 KachelY + 1 100719 1.63891466 -1.20463377 93.902893 -69.020431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20461660--1.20463377) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20461660--1.20463377) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63886672-1.63891466) × cos(-1.20461660) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358051056659076 × 6371000     		do = 109.358008937809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63886672-1.63891466) × cos(-1.20463377) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358035024942811 × 6371000     		du = 109.353112439005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20461660)-sin(-1.20463377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358051056659076-0.358035024942811)×R²
    abs(1.63891466-1.63886672)×1.60317162648527e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60317162648527e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60317162648527e-05×40589641000000     		ar = 11962.412438747m²