Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99720 / 100728
↖ ↑ ↗
← S 69.029279°
E 93.889160°		 ← 109.29 m → S 69.029279°
E 93.891907°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
S 69.030262°
E 93.889160°		 ← 109.28 m →
11 948 m²		 S 69.030262°
E 93.891907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99720 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760807037353516 y=0.768497467041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760807037353516 × 217)
    floor (0.760807037353516 × 131072)
    floor (99720.5)     		tx = 99720
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768497467041016 × 217)
    floor (0.768497467041016 × 131072)
    floor (100728.5)     		ty = 100728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99720 / 100728 ti = "17/99720/100728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99720/100728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99720 ÷ 217
    99720 ÷ 131072     		x = 0.76080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100728 ÷ 217
    100728 ÷ 131072     		y = 0.76849365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76080322265625 × 2 - 1) × π
    0.5216064453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63867498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76849365234375 × 2 - 1) × π
    -0.5369873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68699537142902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63867498} λ = 1.63867498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68699537142902))-π/2
    2×atan(0.185074770363517)-π/2
    2×0.183004061299626-π/2
    0.366008122599252-1.57079632675     		φ = -1.20478820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63867498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.889160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20478820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.029279°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99720 KachelY 100728 1.63867498 -1.20478820 93.889160 -69.029279
    Oben rechts KachelX + 1 99721 KachelY 100728 1.63872291 -1.20478820 93.891907 -69.029279
    Unten links KachelX 99720 KachelY + 1 100729 1.63867498 -1.20480536 93.889160 -69.030262
    Unten rechts KachelX + 1 99721 KachelY + 1 100729 1.63872291 -1.20480536 93.891907 -69.030262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20478820--1.20480536) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dl = 109.326359999041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20478820--1.20480536) × R
    1.71599999998495e-05 × 6371000     		dr = 109.326359999041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63867498-1.63872291) × cos(-1.20478820) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357890828123504 × 6371000     		do = 109.286269794241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63867498-1.63872291) × cos(-1.20480536) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357874804690243 × 6371000     		du = 109.281376846133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20478820)-sin(-1.20480536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357890828123504-0.357874804690243)×R²
    abs(1.63872291-1.63867498)×1.60234332608478e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60234332608478e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60234332608478e-05×40589641000000     		ar = 11947.602610528m²