Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9972 / 2356
↖ ↑ ↗
← N 77.823323°
E 39.111328°		 ← 515.35 m → N 77.823323°
E 39.133301°		 →
↑
515.41 m
↓
↑
515.41 m
↓
N 77.818688°
E 39.111328°		 ← 515.55 m →
265 670 m²		 N 77.818688°
E 39.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608673095703125 y=0.143829345703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608673095703125 × 214)
    floor (0.608673095703125 × 16384)
    floor (9972.5)     		tx = 9972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143829345703125 × 214)
    floor (0.143829345703125 × 16384)
    floor (2356.5)     		ty = 2356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9972 / 2356 ti = "14/9972/2356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9972/2356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9972 ÷ 214
    9972 ÷ 16384     		x = 0.608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2356 ÷ 214
    2356 ÷ 16384     		y = 0.143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608642578125 × 2 - 1) × π
    0.21728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68262145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143798828125 × 2 - 1) × π
    0.71240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23807796946118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68262145} λ = 0.68262145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23807796946118))-π/2
    2×atan(9.37529435716516)-π/2
    2×1.46453477525445-π/2
    2.9290695505089-1.57079632675     		φ = 1.35827322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68262145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.111328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35827322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.823323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9972 KachelY 2356 0.68262145 1.35827322 39.111328 77.823323
    Oben rechts KachelX + 1 9973 KachelY 2356 0.68300495 1.35827322 39.133301 77.823323
    Unten links KachelX 9972 KachelY + 1 2357 0.68262145 1.35819232 39.111328 77.818688
    Unten rechts KachelX + 1 9973 KachelY + 1 2357 0.68300495 1.35819232 39.133301 77.818688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35827322-1.35819232) × R
    8.09000000001614e-05 × 6371000     		dl = 515.413900001028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35827322-1.35819232) × R
    8.09000000001614e-05 × 6371000     		dr = 515.413900001028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68262145-0.68300495) × cos(1.35827322) × R
    0.000383500000000092 × 0.210926910139841 × 6371000     		do = 515.353184616229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68262145-0.68300495) × cos(1.35819232) × R
    0.000383500000000092 × 0.211005989348016 × 6371000     		du = 515.546397145359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35827322)-sin(1.35819232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210926910139841-0.211005989348016)×R²
    abs(0.68300495-0.68262145)×7.90792081747371e-05×R²
    0.000383500000000092×7.90792081747371e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.90792081747371e-05×40589641000000     		ar = 265669.987117694m²