Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9972 / 10363
↖ ↑ ↗
← S 42.988576°
E 39.111328°		 ← 1 787.23 m → S 42.988576°
E 39.133301°		 →
↑
1 787 m
↓
↑
1 787 m
↓
S 43.004647°
E 39.111328°		 ← 1 786.77 m →
3 193 371 m²		 S 43.004647°
E 39.133301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608673095703125 y=0.632537841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608673095703125 × 214)
    floor (0.608673095703125 × 16384)
    floor (9972.5)     		tx = 9972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632537841796875 × 214)
    floor (0.632537841796875 × 16384)
    floor (10363.5)     		ty = 10363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9972 / 10363 ti = "14/9972/10363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9972/10363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9972 ÷ 214
    9972 ÷ 16384     		x = 0.608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10363 ÷ 214
    10363 ÷ 16384     		y = 0.63250732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.608642578125 × 2 - 1) × π
    0.21728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.68262145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.2650146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.832568072601135
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68262145} λ = 0.68262145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832568072601135))-π/2
    2×atan(0.434930916738368)-π/2
    2×0.410252063434632-π/2
    0.820504126869265-1.57079632675     		φ = -0.75029220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68262145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.111328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75029220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.988576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9972 KachelY 10363 0.68262145 -0.75029220 39.111328 -42.988576
    Oben rechts KachelX + 1 9973 KachelY 10363 0.68300495 -0.75029220 39.133301 -42.988576
    Unten links KachelX 9972 KachelY + 1 10364 0.68262145 -0.75057269 39.111328 -43.004647
    Unten rechts KachelX + 1 9973 KachelY + 1 10364 0.68300495 -0.75057269 39.133301 -43.004647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75029220--0.75057269) × R
    0.000280490000000078 × 6371000     		dl = 1787.00179000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75029220--0.75057269) × R
    0.000280490000000078 × 6371000     		dr = 1787.00179000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68262145-0.68300495) × cos(-0.75029220) × R
    0.000383500000000092 × 0.731489662794871 × 6371000     		do = 1787.23296607939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68262145-0.68300495) × cos(-0.75057269) × R
    0.000383500000000092 × 0.731298381206282 × 6371000     		du = 1786.76561188654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75029220)-sin(-0.75057269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731489662794871-0.731298381206282)×R²
    abs(0.68300495-0.68262145)×0.000191281588589276×R²
    0.000383500000000092×0.000191281588589276×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191281588589276×40589641000000     		ar = 3193370.94907825m²