Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99719 / 100823
↖ ↑ ↗
← S 69.122464°
E 93.886414°		 ← 108.85 m → S 69.122464°
E 93.889160°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
S 69.123442°
E 93.886414°		 ← 108.84 m →
11 844 m²		 S 69.123442°
E 93.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760799407958984 y=0.769222259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760799407958984 × 217)
    floor (0.760799407958984 × 131072)
    floor (99719.5)     		tx = 99719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769222259521484 × 217)
    floor (0.769222259521484 × 131072)
    floor (100823.5)     		ty = 100823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99719 / 100823 ti = "17/99719/100823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99719/100823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99719 ÷ 217
    99719 ÷ 131072     		x = 0.760795593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100823 ÷ 217
    100823 ÷ 131072     		y = 0.769218444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760795593261719 × 2 - 1) × π
    0.521591186523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.63862704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769218444824219 × 2 - 1) × π
    -0.538436889648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.69154937689292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63862704} λ = 1.63862704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69154937689292))-π/2
    2×atan(0.184233855067785)-π/2
    2×0.182190873485397-π/2
    0.364381746970794-1.57079632675     		φ = -1.20641458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63862704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.886414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20641458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.122464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99719 KachelY 100823 1.63862704 -1.20641458 93.886414 -69.122464
    Oben rechts KachelX + 1 99720 KachelY 100823 1.63867498 -1.20641458 93.889160 -69.122464
    Unten links KachelX 99719 KachelY + 1 100824 1.63862704 -1.20643166 93.886414 -69.123442
    Unten rechts KachelX + 1 99720 KachelY + 1 100824 1.63867498 -1.20643166 93.889160 -69.123442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20641458--1.20643166) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dl = 108.816680000724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20641458--1.20643166) × R
    1.70800000001137e-05 × 6371000     		dr = 108.816680000724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63862704-1.63867498) × cos(-1.20641458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356371701284784 × 6371000     		do = 108.845090579893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63862704-1.63867498) × cos(-1.20643166) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356355742632711 × 6371000     		du = 108.840216396774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20641458)-sin(-1.20643166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356371701284784-0.356355742632711)×R²
    abs(1.63867498-1.63862704)×1.59586520726007e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59586520726007e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59586520726007e-05×40589641000000     		ar = 11843.8961953348m²