Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99719 / 100727
↖ ↑ ↗
← S 69.028296°
E 93.886414°		 ← 109.31 m → S 69.028296°
E 93.889160°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 69.029279°
E 93.886414°		 ← 109.31 m →
11 944 m²		 S 69.029279°
E 93.889160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99719 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760799407958984 y=0.768489837646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760799407958984 × 217)
    floor (0.760799407958984 × 131072)
    floor (99719.5)     		tx = 99719
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768489837646484 × 217)
    floor (0.768489837646484 × 131072)
    floor (100727.5)     		ty = 100727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99719 / 100727 ti = "17/99719/100727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99719/100727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99719 ÷ 217
    99719 ÷ 131072     		x = 0.760795593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100727 ÷ 217
    100727 ÷ 131072     		y = 0.768486022949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760795593261719 × 2 - 1) × π
    0.521591186523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.63862704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768486022949219 × 2 - 1) × π
    -0.536972045898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.6869474345294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63862704} λ = 1.63862704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6869474345294))-π/2
    2×atan(0.185083642486855)-π/2
    2×0.183012639579871-π/2
    0.366025279159742-1.57079632675     		φ = -1.20477105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63862704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.886414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20477105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.028296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99719 KachelY 100727 1.63862704 -1.20477105 93.886414 -69.028296
    Oben rechts KachelX + 1 99720 KachelY 100727 1.63867498 -1.20477105 93.889160 -69.028296
    Unten links KachelX 99719 KachelY + 1 100728 1.63862704 -1.20478820 93.886414 -69.029279
    Unten rechts KachelX + 1 99720 KachelY + 1 100728 1.63867498 -1.20478820 93.889160 -69.029279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20477105--1.20478820) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dl = 109.262650000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20477105--1.20478820) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dr = 109.262650000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63862704-1.63867498) × cos(-1.20477105) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357906842113806 × 6371000     		do = 109.313962103601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63862704-1.63867498) × cos(-1.20478820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357890828123504 × 6371000     		du = 109.309071018762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20477105)-sin(-1.20478820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357906842113806-0.357890828123504)×R²
    abs(1.63867498-1.63862704)×1.60139903015999e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60139903015999e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60139903015999e-05×40589641000000     		ar = 11943.6659753498m²