Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99718 / 100822
↖ ↑ ↗
← S 69.121485°
E 93.883667°		 ← 108.85 m → S 69.121485°
E 93.886414°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
S 69.122464°
E 93.883667°		 ← 108.85 m →
11 844 m²		 S 69.122464°
E 93.886414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760791778564453 y=0.769214630126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760791778564453 × 217)
    floor (0.760791778564453 × 131072)
    floor (99718.5)     		tx = 99718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769214630126953 × 217)
    floor (0.769214630126953 × 131072)
    floor (100822.5)     		ty = 100822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99718 / 100822 ti = "17/99718/100822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99718/100822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99718 ÷ 217
    99718 ÷ 131072     		x = 0.760787963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100822 ÷ 217
    100822 ÷ 131072     		y = 0.769210815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760787963867188 × 2 - 1) × π
    0.521575927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63857910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769210815429688 × 2 - 1) × π
    -0.538421630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6915014399933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63857910} λ = 1.63857910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6915014399933))-π/2
    2×atan(0.184242686879285)-π/2
    2×0.182199415353928-π/2
    0.364398830707857-1.57079632675     		φ = -1.20639750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63857910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.883667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20639750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.121485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99718 KachelY 100822 1.63857910 -1.20639750 93.883667 -69.121485
    Oben rechts KachelX + 1 99719 KachelY 100822 1.63862704 -1.20639750 93.886414 -69.121485
    Unten links KachelX 99718 KachelY + 1 100823 1.63857910 -1.20641458 93.883667 -69.122464
    Unten rechts KachelX + 1 99719 KachelY + 1 100823 1.63862704 -1.20641458 93.886414 -69.122464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20639750--1.20641458) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20639750--1.20641458) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63857910-1.63862704) × cos(-1.20639750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356387659832893 × 6371000     		do = 108.849964731258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63857910-1.63862704) × cos(-1.20641458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356371701284784 × 6371000     		du = 108.845090579893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20639750)-sin(-1.20641458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356387659832893-0.356371701284784)×R²
    abs(1.63862704-1.63857910)×1.59585481093738e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59585481093738e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59585481093738e-05×40589641000000     		ar = 11844.4265859611m²