Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99717 / 100733
↖ ↑ ↗
← S 69.034194°
E 93.880921°		 ← 109.26 m → S 69.034194°
E 93.883667°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 69.035177°
E 93.880921°		 ← 109.26 m →
11 938 m²		 S 69.035177°
E 93.883667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99717 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760784149169922 y=0.768535614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760784149169922 × 217)
    floor (0.760784149169922 × 131072)
    floor (99717.5)     		tx = 99717
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768535614013672 × 217)
    floor (0.768535614013672 × 131072)
    floor (100733.5)     		ty = 100733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99717 / 100733 ti = "17/99717/100733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99717/100733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99717 ÷ 217
    99717 ÷ 131072     		x = 0.760780334472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100733 ÷ 217
    100733 ÷ 131072     		y = 0.768531799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760780334472656 × 2 - 1) × π
    0.521560668945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.63853117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768531799316406 × 2 - 1) × π
    -0.537063598632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.68723505592712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63853117} λ = 1.63853117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68723505592712))-π/2
    2×atan(0.185030416125795)-π/2
    2×0.182961175657659-π/2
    0.365922351315317-1.57079632675     		φ = -1.20487398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63853117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.880921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20487398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.034194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99717 KachelY 100733 1.63853117 -1.20487398 93.880921 -69.034194
    Oben rechts KachelX + 1 99718 KachelY 100733 1.63857910 -1.20487398 93.883667 -69.034194
    Unten links KachelX 99717 KachelY + 1 100734 1.63853117 -1.20489113 93.880921 -69.035177
    Unten rechts KachelX + 1 99718 KachelY + 1 100734 1.63857910 -1.20489113 93.883667 -69.035177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20487398--1.20489113) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dl = 109.262650000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20487398--1.20489113) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dr = 109.262650000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63853117-1.63857910) × cos(-1.20487398) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357810728579311 × 6371000     		do = 109.261810434824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63853117-1.63857910) × cos(-1.20489113) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357794713957314 × 6371000     		du = 109.256920177341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20487398)-sin(-1.20489113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357810728579311-0.357794713957314)×R²
    abs(1.63857910-1.63853117)×1.60146219975177e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60146219975177e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60146219975177e-05×40589641000000     		ar = 11937.9677911702m²