Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99715 / 100820
↖ ↑ ↗
← S 69.119527°
E 93.875427°		 ← 108.86 m → S 69.119527°
E 93.878174°		 →
↑
108.82 m
↓
↑
108.82 m
↓
S 69.120506°
E 93.875427°		 ← 108.85 m →
11 845 m²		 S 69.120506°
E 93.878174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760768890380859 y=0.769199371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760768890380859 × 217)
    floor (0.760768890380859 × 131072)
    floor (99715.5)     		tx = 99715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769199371337891 × 217)
    floor (0.769199371337891 × 131072)
    floor (100820.5)     		ty = 100820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99715 / 100820 ti = "17/99715/100820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99715/100820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99715 ÷ 217
    99715 ÷ 131072     		x = 0.760765075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100820 ÷ 217
    100820 ÷ 131072     		y = 0.769195556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760765075683594 × 2 - 1) × π
    0.521530151367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.63843529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769195556640625 × 2 - 1) × π
    -0.53839111328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69140556619406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63843529} λ = 1.63843529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69140556619406))-π/2
    2×atan(0.184260351772445)-π/2
    2×0.182216500238784-π/2
    0.364433000477568-1.57079632675     		φ = -1.20636333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63843529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.875427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20636333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.119527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99715 KachelY 100820 1.63843529 -1.20636333 93.875427 -69.119527
    Oben rechts KachelX + 1 99716 KachelY 100820 1.63848323 -1.20636333 93.878174 -69.119527
    Unten links KachelX 99715 KachelY + 1 100821 1.63843529 -1.20638041 93.875427 -69.120506
    Unten rechts KachelX + 1 99716 KachelY + 1 100821 1.63848323 -1.20638041 93.878174 -69.120506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20636333--1.20638041) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dl = 108.81667999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20636333--1.20638041) × R
    1.70799999998916e-05 × 6371000     		dr = 108.81667999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63843529-1.63848323) × cos(-1.20636333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356419585960465 × 6371000     		do = 108.859715792397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63843529-1.63848323) × cos(-1.20638041) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356403627620356 × 6371000     		du = 108.85484170456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20636333)-sin(-1.20638041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.356419585960465-0.356403627620356)×R²
    abs(1.63848323-1.63843529)×1.5958340108424e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5958340108424e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5958340108424e-05×40589641000000     		ar = 11845.4876672858m²