Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99711 / 100771
↖ ↑ ↗
← S 69.071507°
E 93.864441°		 ← 109.10 m → S 69.071507°
E 93.867187°		 →
↑
109.07 m
↓
↑
109.07 m
↓
S 69.072488°
E 93.864441°		 ← 109.09 m →
11 899 m²		 S 69.072488°
E 93.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760738372802734 y=0.768825531005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760738372802734 × 217)
    floor (0.760738372802734 × 131072)
    floor (99711.5)     		tx = 99711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768825531005859 × 217)
    floor (0.768825531005859 × 131072)
    floor (100771.5)     		ty = 100771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99711 / 100771 ti = "17/99711/100771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99711/100771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99711 ÷ 217
    99711 ÷ 131072     		x = 0.760734558105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100771 ÷ 217
    100771 ÷ 131072     		y = 0.768821716308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760734558105469 × 2 - 1) × π
    0.521469116210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.63824354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768821716308594 × 2 - 1) × π
    -0.537643432617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.68905665811268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63824354} λ = 1.63824354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68905665811268))-π/2
    2×atan(0.184693671116224)-π/2
    2×0.182635558290576-π/2
    0.365271116581152-1.57079632675     		φ = -1.20552521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63824354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.864441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20552521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.071507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99711 KachelY 100771 1.63824354 -1.20552521 93.864441 -69.071507
    Oben rechts KachelX + 1 99712 KachelY 100771 1.63829148 -1.20552521 93.867187 -69.071507
    Unten links KachelX 99711 KachelY + 1 100772 1.63824354 -1.20554233 93.864441 -69.072488
    Unten rechts KachelX + 1 99712 KachelY + 1 100772 1.63829148 -1.20554233 93.867187 -69.072488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20552521--1.20554233) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dl = 109.07152000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20552521--1.20554233) × R
    1.71200000000926e-05 × 6371000     		dr = 109.07152000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63824354-1.63829148) × cos(-1.20552521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357202537995316 × 6371000     		do = 109.098849497026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63824354-1.63829148) × cos(-1.20554233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357186547401553 × 6371000     		du = 109.093965558093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20552521)-sin(-1.20554233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357202537995316-0.357186547401553)×R²
    abs(1.63829148-1.63824354)×1.59905937626159e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59905937626159e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59905937626159e-05×40589641000000     		ar = 11899.3109958512m²