Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9971 / 2365
↖ ↑ ↗
← N 77.781541°
E 39.089356°		 ← 517.08 m → N 77.781541°
E 39.111328°		 →
↑
517.20 m
↓
↑
517.20 m
↓
N 77.776890°
E 39.089356°		 ← 517.28 m →
267 483 m²		 N 77.776890°
E 39.111328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608612060546875 y=0.144378662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608612060546875 × 214)
    floor (0.608612060546875 × 16384)
    floor (9971.5)     		tx = 9971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144378662109375 × 214)
    floor (0.144378662109375 × 16384)
    floor (2365.5)     		ty = 2365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9971 / 2365 ti = "14/9971/2365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9971/2365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9971 ÷ 214
    9971 ÷ 16384     		x = 0.60858154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2365 ÷ 214
    2365 ÷ 16384     		y = 0.14434814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60858154296875 × 2 - 1) × π
    0.2171630859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68223796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14434814453125 × 2 - 1) × π
    0.7113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23462651268854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68223796} λ = 0.68223796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23462651268854))-π/2
    2×atan(9.34299171162021)-π/2
    2×1.46417015800873-π/2
    2.92834031601747-1.57079632675     		φ = 1.35754399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68223796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.089356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35754399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.781541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9971 KachelY 2365 0.68223796 1.35754399 39.089356 77.781541
    Oben rechts KachelX + 1 9972 KachelY 2365 0.68262145 1.35754399 39.111328 77.781541
    Unten links KachelX 9971 KachelY + 1 2366 0.68223796 1.35746281 39.089356 77.776890
    Unten rechts KachelX + 1 9972 KachelY + 1 2366 0.68262145 1.35746281 39.111328 77.776890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35754399-1.35746281) × R
    8.1180000000014e-05 × 6371000     		dl = 517.197780000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35754399-1.35746281) × R
    8.1180000000014e-05 × 6371000     		dr = 517.197780000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68223796-0.68262145) × cos(1.35754399) × R
    0.000383489999999931 × 0.211639677657257 × 6371000     		do = 517.081190602949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68223796-0.68262145) × cos(1.35746281) × R
    0.000383489999999931 × 0.211719018051072 × 6371000     		du = 517.275036226564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35754399)-sin(1.35746281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211639677657257-0.211719018051072)×R²
    abs(0.68262145-0.68223796)×7.93403938155468e-05×R²
    0.000383489999999931×7.93403938155468e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.93403938155468e-05×40589641000000     		ar = 267483.372270135m²