Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99703 / 100735
↖ ↑ ↗
← S 69.036159°
E 93.842468°		 ← 109.27 m → S 69.036159°
E 93.845215°		 →
↑
109.26 m
↓
↑
109.26 m
↓
S 69.037142°
E 93.842468°		 ← 109.27 m →
11 939 m²		 S 69.037142°
E 93.845215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760677337646484 y=0.768550872802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760677337646484 × 217)
    floor (0.760677337646484 × 131072)
    floor (99703.5)     		tx = 99703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768550872802734 × 217)
    floor (0.768550872802734 × 131072)
    floor (100735.5)     		ty = 100735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99703 / 100735 ti = "17/99703/100735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99703/100735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99703 ÷ 217
    99703 ÷ 131072     		x = 0.760673522949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100735 ÷ 217
    100735 ÷ 131072     		y = 0.768547058105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760673522949219 × 2 - 1) × π
    0.521347045898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.63786005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768547058105469 × 2 - 1) × π
    -0.537094116210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.68733092972636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63786005} λ = 1.63786005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68733092972636))-π/2
    2×atan(0.185012677407179)-π/2
    2×0.182944024088251-π/2
    0.365888048176502-1.57079632675     		φ = -1.20490828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63786005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.842468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20490828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.036159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99703 KachelY 100735 1.63786005 -1.20490828 93.842468 -69.036159
    Oben rechts KachelX + 1 99704 KachelY 100735 1.63790799 -1.20490828 93.845215 -69.036159
    Unten links KachelX 99703 KachelY + 1 100736 1.63786005 -1.20492543 93.842468 -69.037142
    Unten rechts KachelX + 1 99704 KachelY + 1 100736 1.63790799 -1.20492543 93.845215 -69.037142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20490828--1.20492543) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dl = 109.262650000843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20490828--1.20492543) × R
    1.71500000001323e-05 × 6371000     		dr = 109.262650000843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63786005-1.63790799) × cos(-1.20490828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357778699230081 × 6371000     		do = 109.274823968513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63786005-1.63790799) × cos(-1.20492543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357762684397617 × 6371000     		du = 109.269932626457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20490828)-sin(-1.20492543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357778699230081-0.357762684397617)×R²
    abs(1.63790799-1.63786005)×1.60148324637732e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60148324637732e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60148324637732e-05×40589641000000     		ar = 11939.3896248543m²