Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99702 / 97504
↖ ↑ ↗
← S 65.622023°
E 93.839722°		 ← 126.07 m → S 65.622023°
E 93.842468°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
S 65.623156°
E 93.839722°		 ← 126.06 m →
15 886 m²		 S 65.623156°
E 93.842468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760669708251953 y=0.743900299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760669708251953 × 217)
    floor (0.760669708251953 × 131072)
    floor (99702.5)     		tx = 99702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743900299072266 × 217)
    floor (0.743900299072266 × 131072)
    floor (97504.5)     		ty = 97504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99702 / 97504 ti = "17/99702/97504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99702/97504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99702 ÷ 217
    99702 ÷ 131072     		x = 0.760665893554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97504 ÷ 217
    97504 ÷ 131072     		y = 0.743896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760665893554688 × 2 - 1) × π
    0.521331787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63781211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743896484375 × 2 - 1) × π
    -0.48779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53244680705396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63781211} λ = 1.63781211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53244680705396))-π/2
    2×atan(0.216006493974325)-π/2
    2×0.212737985180594-π/2
    0.425475970361189-1.57079632675     		φ = -1.14532036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63781211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.839722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14532036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.622023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99702 KachelY 97504 1.63781211 -1.14532036 93.839722 -65.622023
    Oben rechts KachelX + 1 99703 KachelY 97504 1.63786005 -1.14532036 93.842468 -65.622023
    Unten links KachelX 99702 KachelY + 1 97505 1.63781211 -1.14534014 93.839722 -65.623156
    Unten rechts KachelX + 1 99703 KachelY + 1 97505 1.63786005 -1.14534014 93.842468 -65.623156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14532036--1.14534014) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dl = 126.018380000865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14532036--1.14534014) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dr = 126.018380000865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63781211-1.63786005) × cos(-1.14532036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412754359208324 × 6371000     		do = 126.065805599346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63781211-1.63786005) × cos(-1.14534014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412736342665328 × 6371000     		du = 126.060302883369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14532036)-sin(-1.14534014))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412754359208324-0.412736342665328)×R²
    abs(1.63786005-1.63781211)×1.8016542995658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8016542995658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8016542995658e-05×40589641000000     		ar = 15886.261874147m²