Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99701 / 97511
↖ ↑ ↗
← S 65.629957°
E 93.836975°		 ← 126 m → S 65.629957°
E 93.839722°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
S 65.631090°
E 93.836975°		 ← 126 m →
15 878 m²		 S 65.631090°
E 93.839722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760662078857422 y=0.743953704833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760662078857422 × 217)
    floor (0.760662078857422 × 131072)
    floor (99701.5)     		tx = 99701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743953704833984 × 217)
    floor (0.743953704833984 × 131072)
    floor (97511.5)     		ty = 97511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99701 / 97511 ti = "17/99701/97511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99701/97511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99701 ÷ 217
    99701 ÷ 131072     		x = 0.760658264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97511 ÷ 217
    97511 ÷ 131072     		y = 0.743949890136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760658264160156 × 2 - 1) × π
    0.521316528320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.63776418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743949890136719 × 2 - 1) × π
    -0.487899780273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.5327823653513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63776418} λ = 1.63776418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5327823653513))-π/2
    2×atan(0.21593402336273)-π/2
    2×0.212668744187245-π/2
    0.425337488374491-1.57079632675     		φ = -1.14545884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63776418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.836975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14545884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.629957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99701 KachelY 97511 1.63776418 -1.14545884 93.836975 -65.629957
    Oben rechts KachelX + 1 99702 KachelY 97511 1.63781211 -1.14545884 93.839722 -65.629957
    Unten links KachelX 99701 KachelY + 1 97512 1.63776418 -1.14547862 93.836975 -65.631090
    Unten rechts KachelX + 1 99702 KachelY + 1 97512 1.63781211 -1.14547862 93.839722 -65.631090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14545884--1.14547862) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dl = 126.018379999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14545884--1.14547862) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dr = 126.018379999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63776418-1.63781211) × cos(-1.14545884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41262822179848 × 6371000     		do = 126.000991443751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63776418-1.63781211) × cos(-1.14547862) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412610204125093 × 6371000     		du = 125.99548953043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14545884)-sin(-1.14547862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41262822179848-0.412610204125093)×R²
    abs(1.63781211-1.63776418)×1.80176733877158e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80176733877158e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80176733877158e-05×40589641000000     		ar = 15878.0941495134m²