Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99697 / 100721
↖ ↑ ↗
← S 69.022397°
E 93.825989°		 ← 109.32 m → S 69.022397°
E 93.828735°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
S 69.023380°
E 93.825989°		 ← 109.32 m →
11 951 m²		 S 69.023380°
E 93.828735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760631561279297 y=0.768444061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760631561279297 × 217)
    floor (0.760631561279297 × 131072)
    floor (99697.5)     		tx = 99697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768444061279297 × 217)
    floor (0.768444061279297 × 131072)
    floor (100721.5)     		ty = 100721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99697 / 100721 ti = "17/99697/100721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99697/100721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99697 ÷ 217
    99697 ÷ 131072     		x = 0.760627746582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100721 ÷ 217
    100721 ÷ 131072     		y = 0.768440246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760627746582031 × 2 - 1) × π
    0.521255493164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.63757243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768440246582031 × 2 - 1) × π
    -0.536880493164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.68665981313168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63757243} λ = 1.63757243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68665981313168))-π/2
    2×atan(0.185136884159157)-π/2
    2×0.183064117325532-π/2
    0.366128234651064-1.57079632675     		φ = -1.20466809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63757243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.825989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20466809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.022397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99697 KachelY 100721 1.63757243 -1.20466809 93.825989 -69.022397
    Oben rechts KachelX + 1 99698 KachelY 100721 1.63762036 -1.20466809 93.828735 -69.022397
    Unten links KachelX 99697 KachelY + 1 100722 1.63757243 -1.20468525 93.825989 -69.023380
    Unten rechts KachelX + 1 99698 KachelY + 1 100722 1.63762036 -1.20468525 93.828735 -69.023380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20466809--1.20468525) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dl = 109.326360000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20466809--1.20468525) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dr = 109.326360000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63757243-1.63762036) × cos(-1.20466809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35800297986804 × 6371000     		do = 109.320516678621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63757243-1.63762036) × cos(-1.20468525) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357986957172522 × 6371000     		du = 109.315623955791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20466809)-sin(-1.20468525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35800297986804-0.357986957172522)×R²
    abs(1.63762036-1.63757243)×1.60226955176479e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60226955176479e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60226955176479e-05×40589641000000     		ar = 11951.34671036m²