Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99694 / 100723
↖ ↑ ↗
← S 69.024364°
E 93.817749°		 ← 109.31 m → S 69.024364°
E 93.820495°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
S 69.025347°
E 93.817749°		 ← 109.31 m →
11 950 m²		 S 69.025347°
E 93.820495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760608673095703 y=0.768459320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760608673095703 × 217)
    floor (0.760608673095703 × 131072)
    floor (99694.5)     		tx = 99694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768459320068359 × 217)
    floor (0.768459320068359 × 131072)
    floor (100723.5)     		ty = 100723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99694 / 100723 ti = "17/99694/100723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99694/100723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99694 ÷ 217
    99694 ÷ 131072     		x = 0.760604858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100723 ÷ 217
    100723 ÷ 131072     		y = 0.768455505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760604858398438 × 2 - 1) × π
    0.521209716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.63742862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768455505371094 × 2 - 1) × π
    -0.536911010742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.68675568693092
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63742862} λ = 1.63742862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68675568693092))-π/2
    2×atan(0.185119135233536)-π/2
    2×0.183046956540844-π/2
    0.366093913081688-1.57079632675     		φ = -1.20470241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63742862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.817749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20470241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.024364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99694 KachelY 100723 1.63742862 -1.20470241 93.817749 -69.024364
    Oben rechts KachelX + 1 99695 KachelY 100723 1.63747655 -1.20470241 93.820495 -69.024364
    Unten links KachelX 99694 KachelY + 1 100724 1.63742862 -1.20471957 93.817749 -69.025347
    Unten rechts KachelX + 1 99695 KachelY + 1 100724 1.63747655 -1.20471957 93.820495 -69.025347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20470241--1.20471957) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dl = 109.326360000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20470241--1.20471957) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dr = 109.326360000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63742862-1.63747655) × cos(-1.20470241) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.35797093437159 × 6371000     		do = 109.310731200772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63742862-1.63747655) × cos(-1.20471957) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.357954911465247 × 6371000     		du = 109.305838413565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20470241)-sin(-1.20471957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35797093437159-0.357954911465247)×R²
    abs(1.63747655-1.63742862)×1.60229063426165e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60229063426165e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60229063426165e-05×40589641000000     		ar = 11950.2768960892m²