Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9969 / 2360
↖ ↑ ↗
← N 77.804771°
E 39.045410°		 ← 516.13 m → N 77.804771°
E 39.067383°		 →
↑
516.18 m
↓
↑
516.18 m
↓
N 77.800128°
E 39.045410°		 ← 516.32 m →
266 463 m²		 N 77.800128°
E 39.067383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608489990234375 y=0.144073486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608489990234375 × 214)
    floor (0.608489990234375 × 16384)
    floor (9969.5)     		tx = 9969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144073486328125 × 214)
    floor (0.144073486328125 × 16384)
    floor (2360.5)     		ty = 2360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9969 / 2360 ti = "14/9969/2360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9969/2360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9969 ÷ 214
    9969 ÷ 16384     		x = 0.60845947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2360 ÷ 214
    2360 ÷ 16384     		y = 0.14404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60845947265625 × 2 - 1) × π
    0.2169189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68147096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    0.7119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23654398867334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68147096} λ = 0.68147096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23654398867334))-π/2
    2×atan(9.36092386059167)-π/2
    2×1.46437287499428-π/2
    2.92874574998857-1.57079632675     		φ = 1.35794942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68147096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.045410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35794942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.804771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9969 KachelY 2360 0.68147096 1.35794942 39.045410 77.804771
    Oben rechts KachelX + 1 9970 KachelY 2360 0.68185446 1.35794942 39.067383 77.804771
    Unten links KachelX 9969 KachelY + 1 2361 0.68147096 1.35786840 39.045410 77.800128
    Unten rechts KachelX + 1 9970 KachelY + 1 2361 0.68185446 1.35786840 39.067383 77.800128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35794942-1.35786840) × R
    8.10199999998762e-05 × 6371000     		dl = 516.178419999211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35794942-1.35786840) × R
    8.10199999998762e-05 × 6371000     		dr = 516.178419999211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68147096-0.68185446) × cos(1.35794942) × R
    0.000383500000000092 × 0.211243414171206 × 6371000     		do = 516.126492111227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68147096-0.68185446) × cos(1.35786840) × R
    0.000383500000000092 × 0.211322605138846 × 6371000     		du = 516.319977699855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35794942)-sin(1.35786840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211243414171206-0.211322605138846)×R²
    abs(0.68185446-0.68147096)×7.91909676398916e-05×R²
    0.000383500000000092×7.91909676398916e-05×6371000²
    0.000383500000000092×7.91909676398916e-05×40589641000000     		ar = 266463.293906377m²