Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9969 / 10409
↖ ↑ ↗
← S 43.723475°
E 39.045410°		 ← 1 765.72 m → S 43.723475°
E 39.067383°		 →
↑
1 765.47 m
↓
↑
1 765.47 m
↓
S 43.739352°
E 39.045410°		 ← 1 765.25 m →
3 116 906 m²		 S 43.739352°
E 39.067383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608489990234375 y=0.635345458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608489990234375 × 214)
    floor (0.608489990234375 × 16384)
    floor (9969.5)     		tx = 9969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635345458984375 × 214)
    floor (0.635345458984375 × 16384)
    floor (10409.5)     		ty = 10409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9969 / 10409 ti = "14/9969/10409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9969/10409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9969 ÷ 214
    9969 ÷ 16384     		x = 0.60845947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10409 ÷ 214
    10409 ÷ 16384     		y = 0.63531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60845947265625 × 2 - 1) × π
    0.2169189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.68147096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63531494140625 × 2 - 1) × π
    -0.2706298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.850208851661316
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68147096} λ = 0.68147096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850208851661316))-π/2
    2×atan(0.427325674951179)-π/2
    2×0.403838864731085-π/2
    0.807677729462169-1.57079632675     		φ = -0.76311860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68147096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.045410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76311860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.723475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9969 KachelY 10409 0.68147096 -0.76311860 39.045410 -43.723475
    Oben rechts KachelX + 1 9970 KachelY 10409 0.68185446 -0.76311860 39.067383 -43.723475
    Unten links KachelX 9969 KachelY + 1 10410 0.68147096 -0.76339571 39.045410 -43.739352
    Unten rechts KachelX + 1 9970 KachelY + 1 10410 0.68185446 -0.76339571 39.067383 -43.739352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76311860--0.76339571) × R
    0.000277109999999969 × 6371000     		dl = 1765.4678099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76311860--0.76339571) × R
    0.000277109999999969 × 6371000     		dr = 1765.4678099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68147096-0.68185446) × cos(-0.76311860) × R
    0.000383500000000092 × 0.722684019051131 × 6371000     		do = 1765.71832604164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68147096-0.68185446) × cos(-0.76339571) × R
    0.000383500000000092 × 0.722492458814021 × 6371000     		du = 1765.25029103286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76311860)-sin(-0.76339571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722684019051131-0.722492458814021)×R²
    abs(0.68185446-0.68147096)×0.000191560237109756×R²
    0.000383500000000092×0.000191560237109756×6371000²
    0.000383500000000092×0.000191560237109756×40589641000000     		ar = 3116905.73572752m²