Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9968 / 10410
↖ ↑ ↗
← S 43.739352°
E 39.023438°		 ← 1 765.20 m → S 43.739352°
E 39.045410°		 →
↑
1 764.96 m
↓
↑
1 764.96 m
↓
S 43.755225°
E 39.023438°		 ← 1 764.74 m →
3 115 099 m²		 S 43.755225°
E 39.045410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608428955078125 y=0.635406494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608428955078125 × 214)
    floor (0.608428955078125 × 16384)
    floor (9968.5)     		tx = 9968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635406494140625 × 214)
    floor (0.635406494140625 × 16384)
    floor (10410.5)     		ty = 10410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9968 / 10410 ti = "14/9968/10410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9968/10410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9968 ÷ 214
    9968 ÷ 16384     		x = 0.6083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10410 ÷ 214
    10410 ÷ 16384     		y = 0.6353759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6083984375 × 2 - 1) × π
    0.216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68108747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6353759765625 × 2 - 1) × π
    -0.270751953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.850592346858276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68108747} λ = 0.68108747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850592346858276))-π/2
    2×atan(0.427161829026368)-π/2
    2×0.403700310171092-π/2
    0.807400620342185-1.57079632675     		φ = -0.76339571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68108747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.023438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76339571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.739352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9968 KachelY 10410 0.68108747 -0.76339571 39.023438 -43.739352
    Oben rechts KachelX + 1 9969 KachelY 10410 0.68147096 -0.76339571 39.045410 -43.739352
    Unten links KachelX 9968 KachelY + 1 10411 0.68108747 -0.76367274 39.023438 -43.755225
    Unten rechts KachelX + 1 9969 KachelY + 1 10411 0.68147096 -0.76367274 39.045410 -43.755225
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76339571--0.76367274) × R
    0.000277030000000011 × 6371000     		dl = 1764.95813000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76339571--0.76367274) × R
    0.000277030000000011 × 6371000     		dr = 1764.95813000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68108747-0.68147096) × cos(-0.76339571) × R
    0.000383489999999931 × 0.722492458814021 × 6371000     		do = 1765.20426103756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68108747-0.68147096) × cos(-0.76367274) × R
    0.000383489999999931 × 0.722300898423067 × 6371000     		du = 1764.73623785721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76339571)-sin(-0.76367274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722492458814021-0.722300898423067)×R²
    abs(0.68147096-0.68108747)×0.000191560390954248×R²
    0.000383489999999931×0.000191560390954248×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191560390954248×40589641000000     		ar = 3115098.61089334m²