Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9968 / 10380
↖ ↑ ↗
← S 43.261206°
E 39.023438°		 ← 1 779.24 m → S 43.261206°
E 39.045410°		 →
↑
1 778.97 m
↓
↑
1 778.97 m
↓
S 43.277205°
E 39.023438°		 ← 1 778.77 m →
3 164 805 m²		 S 43.277205°
E 39.045410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608428955078125 y=0.633575439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608428955078125 × 214)
    floor (0.608428955078125 × 16384)
    floor (9968.5)     		tx = 9968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633575439453125 × 214)
    floor (0.633575439453125 × 16384)
    floor (10380.5)     		ty = 10380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9968 / 10380 ti = "14/9968/10380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9968/10380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9968 ÷ 214
    9968 ÷ 16384     		x = 0.6083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10380 ÷ 214
    10380 ÷ 16384     		y = 0.633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6083984375 × 2 - 1) × π
    0.216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68108747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633544921875 × 2 - 1) × π
    -0.26708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.839087490949463
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68108747} λ = 0.68108747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.839087490949463))-π/2
    2×atan(0.432104642980402)-π/2
    2×0.407872920775334-π/2
    0.815745841550669-1.57079632675     		φ = -0.75505049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68108747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.023438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75505049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.261206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9968 KachelY 10380 0.68108747 -0.75505049 39.023438 -43.261206
    Oben rechts KachelX + 1 9969 KachelY 10380 0.68147096 -0.75505049 39.045410 -43.261206
    Unten links KachelX 9968 KachelY + 1 10381 0.68108747 -0.75532972 39.023438 -43.277205
    Unten rechts KachelX + 1 9969 KachelY + 1 10381 0.68147096 -0.75532972 39.045410 -43.277205
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75505049--0.75532972) × R
    0.000279229999999964 × 6371000     		dl = 1778.97432999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75505049--0.75532972) × R
    0.000279229999999964 × 6371000     		dr = 1778.97432999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68108747-0.68147096) × cos(-0.75505049) × R
    0.000383489999999931 × 0.728236942029552 × 6371000     		do = 1779.23926739065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68108747-0.68147096) × cos(-0.75532972) × R
    0.000383489999999931 × 0.72804555021983 × 6371000     		du = 1778.77165609046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75505049)-sin(-0.75532972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728236942029552-0.72804555021983)×R²
    abs(0.68147096-0.68108747)×0.000191391809721719×R²
    0.000383489999999931×0.000191391809721719×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191391809721719×40589641000000     		ar = 3164805.0699286m²