Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9967 / 10418
↖ ↑ ↗
← S 43.866218°
E 39.001465°		 ← 1 761.51 m → S 43.866218°
E 39.023438°		 →
↑
1 761.26 m
↓
↑
1 761.26 m
↓
S 43.882057°
E 39.001465°		 ← 1 761.04 m →
3 102 062 m²		 S 43.882057°
E 39.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608367919921875 y=0.635894775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608367919921875 × 214)
    floor (0.608367919921875 × 16384)
    floor (9967.5)     		tx = 9967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635894775390625 × 214)
    floor (0.635894775390625 × 16384)
    floor (10418.5)     		ty = 10418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9967 / 10418 ti = "14/9967/10418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9967/10418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9967 ÷ 214
    9967 ÷ 16384     		x = 0.60833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10418 ÷ 214
    10418 ÷ 16384     		y = 0.6358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60833740234375 × 2 - 1) × π
    0.2166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68070397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.85366030843396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68070397} λ = 0.68070397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.85366030843396))-π/2
    2×atan(0.42585332120053)-π/2
    2×0.402593196100227-π/2
    0.805186392200455-1.57079632675     		φ = -0.76560993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68070397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.001465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76560993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.866218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9967 KachelY 10418 0.68070397 -0.76560993 39.001465 -43.866218
    Oben rechts KachelX + 1 9968 KachelY 10418 0.68108747 -0.76560993 39.023438 -43.866218
    Unten links KachelX 9967 KachelY + 1 10419 0.68070397 -0.76588638 39.001465 -43.882057
    Unten rechts KachelX + 1 9968 KachelY + 1 10419 0.68108747 -0.76588638 39.023438 -43.882057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76560993--0.76588638) × R
    0.000276449999999984 × 6371000     		dl = 1761.2629499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76560993--0.76588638) × R
    0.000276449999999984 × 6371000     		dr = 1761.2629499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68070397-0.68108747) × cos(-0.76560993) × R
    0.000383499999999981 × 0.72095982418888 × 6371000     		do = 1761.50563780438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68070397-0.68108747) × cos(-0.76588638) × R
    0.000383499999999981 × 0.720768223188159 × 6371000     		du = 1761.03750319874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76560993)-sin(-0.76588638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72095982418888-0.720768223188159)×R²
    abs(0.68108747-0.68070397)×0.000191601000720798×R²
    0.000383499999999981×0.000191601000720798×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191601000720798×40589641000000     		ar = 3102062.38176903m²