Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9967 / 10378
↖ ↑ ↗
← S 43.229195°
E 39.001465°		 ← 1 780.22 m → S 43.229195°
E 39.023438°		 →
↑
1 779.93 m
↓
↑
1 779.93 m
↓
S 43.245203°
E 39.001465°		 ← 1 779.75 m →
3 168 252 m²		 S 43.245203°
E 39.023438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608367919921875 y=0.633453369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608367919921875 × 214)
    floor (0.608367919921875 × 16384)
    floor (9967.5)     		tx = 9967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633453369140625 × 214)
    floor (0.633453369140625 × 16384)
    floor (10378.5)     		ty = 10378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9967 / 10378 ti = "14/9967/10378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9967/10378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9967 ÷ 214
    9967 ÷ 16384     		x = 0.60833740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10378 ÷ 214
    10378 ÷ 16384     		y = 0.6334228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.60833740234375 × 2 - 1) × π
    0.2166748046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.68070397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6334228515625 × 2 - 1) × π
    -0.266845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.838320500555542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68070397} λ = 0.68070397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.838320500555542))-π/2
    2×atan(0.432436190221258)-π/2
    2×0.40815226954331-π/2
    0.81630453908662-1.57079632675     		φ = -0.75449179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68070397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.001465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75449179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.229195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9967 KachelY 10378 0.68070397 -0.75449179 39.001465 -43.229195
    Oben rechts KachelX + 1 9968 KachelY 10378 0.68108747 -0.75449179 39.023438 -43.229195
    Unten links KachelX 9967 KachelY + 1 10379 0.68070397 -0.75477117 39.001465 -43.245203
    Unten rechts KachelX + 1 9968 KachelY + 1 10379 0.68108747 -0.75477117 39.023438 -43.245203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75449179--0.75477117) × R
    0.000279380000000051 × 6371000     		dl = 1779.92998000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75449179--0.75477117) × R
    0.000279380000000051 × 6371000     		dr = 1779.92998000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68070397-0.68108747) × cos(-0.75449179) × R
    0.000383499999999981 × 0.728619719673954 × 6371000     		do = 1780.22089575531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68070397-0.68108747) × cos(-0.75477117) × R
    0.000383499999999981 × 0.728428338720065 × 6371000     		du = 1779.75329878536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75449179)-sin(-0.75477117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728619719673954-0.728428338720065)×R²
    abs(0.68108747-0.68070397)×0.000191380953889486×R²
    0.000383499999999981×0.000191380953889486×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191380953889486×40589641000000     		ar = 3168252.4190536m²