Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99664 / 100784
↖ ↑ ↗
← S 69.084257°
E 93.735352°		 ← 109.04 m → S 69.084257°
E 93.738098°		 →
↑
109.01 m
↓
↑
109.01 m
↓
S 69.085238°
E 93.735352°		 ← 109.03 m →
11 885 m²		 S 69.085238°
E 93.738098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760379791259766 y=0.768924713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760379791259766 × 217)
    floor (0.760379791259766 × 131072)
    floor (99664.5)     		tx = 99664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768924713134766 × 217)
    floor (0.768924713134766 × 131072)
    floor (100784.5)     		ty = 100784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99664 / 100784 ti = "17/99664/100784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99664/100784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99664 ÷ 217
    99664 ÷ 131072     		x = 0.7603759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100784 ÷ 217
    100784 ÷ 131072     		y = 0.7689208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7603759765625 × 2 - 1) × π
    0.520751953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63599051
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.68967983780774
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63599051} λ = 1.63599051}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68967983780774))-π/2
    2×atan(0.184578609626294)-π/2
    2×0.182524289993129-π/2
    0.365048579986257-1.57079632675     		φ = -1.20574775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63599051} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.735352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20574775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.084257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99664 KachelY 100784 1.63599051 -1.20574775 93.735352 -69.084257
    Oben rechts KachelX + 1 99665 KachelY 100784 1.63603845 -1.20574775 93.738098 -69.084257
    Unten links KachelX 99664 KachelY + 1 100785 1.63599051 -1.20576486 93.735352 -69.085238
    Unten rechts KachelX + 1 99665 KachelY + 1 100785 1.63603845 -1.20576486 93.738098 -69.085238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20574775--1.20576486) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dl = 109.007809999563m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20574775--1.20576486) × R
    1.71099999999313e-05 × 6371000     		dr = 109.007809999563m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63599051-1.63603845) × cos(-1.20574775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3569946707941 × 6371000     		do = 109.035361503273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63599051-1.63603845) × cos(-1.20576486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.356978688180989 × 6371000     		du = 109.030480001836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20574775)-sin(-1.20576486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3569946707941-0.356978688180989)×R²
    abs(1.63603845-1.63599051)×1.59826131112539e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59826131112539e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59826131112539e-05×40589641000000     		ar = 11885.4399093052m²