Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9966 / 10411
↖ ↑ ↗
← S 43.755225°
E 38.979492°		 ← 1 764.74 m → S 43.755225°
E 39.001465°		 →
↑
1 764.51 m
↓
↑
1 764.51 m
↓
S 43.771094°
E 38.979492°		 ← 1 764.27 m →
3 113 486 m²		 S 43.771094°
E 39.001465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.608306884765625 y=0.635467529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.608306884765625 × 214)
    floor (0.608306884765625 × 16384)
    floor (9966.5)     		tx = 9966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635467529296875 × 214)
    floor (0.635467529296875 × 16384)
    floor (10411.5)     		ty = 10411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9966 / 10411 ti = "14/9966/10411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9966/10411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9966 ÷ 214
    9966 ÷ 16384     		x = 0.6082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10411 ÷ 214
    10411 ÷ 16384     		y = 0.63543701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6082763671875 × 2 - 1) × π
    0.216552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.68032048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63543701171875 × 2 - 1) × π
    -0.2708740234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.850975842055237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.68032048} λ = 0.68032048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.850975842055237))-π/2
    2×atan(0.426998045923635)-π/2
    2×0.403561792342648-π/2
    0.807123584685295-1.57079632675     		φ = -0.76367274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.68032048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 38.979492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76367274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.755225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9966 KachelY 10411 0.68032048 -0.76367274 38.979492 -43.755225
    Oben rechts KachelX + 1 9967 KachelY 10411 0.68070397 -0.76367274 39.001465 -43.755225
    Unten links KachelX 9966 KachelY + 1 10412 0.68032048 -0.76394970 38.979492 -43.771094
    Unten rechts KachelX + 1 9967 KachelY + 1 10412 0.68070397 -0.76394970 39.001465 -43.771094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76367274--0.76394970) × R
    0.000276959999999993 × 6371000     		dl = 1764.51215999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76367274--0.76394970) × R
    0.000276959999999993 × 6371000     		dr = 1764.51215999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.68032048-0.68070397) × cos(-0.76367274) × R
    0.000383490000000042 × 0.722300898423067 × 6371000     		do = 1764.73623785772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.68032048-0.68070397) × cos(-0.76394970) × R
    0.000383490000000042 × 0.722109331023211 × 6371000     		du = 1764.26819755311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76367274)-sin(-0.76394970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.722300898423067-0.722109331023211)×R²
    abs(0.68070397-0.68032048)×0.000191567399856596×R²
    0.000383490000000042×0.000191567399856596×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191567399856596×40589641000000     		ar = 3113485.63939106m²