Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99654 / 100754
↖ ↑ ↗
← S 69.054822°
E 93.707886°		 ← 109.18 m → S 69.054822°
E 93.710632°		 →
↑
109.14 m
↓
↑
109.14 m
↓
S 69.055804°
E 93.707886°		 ← 109.18 m →
11 915 m²		 S 69.055804°
E 93.710632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760303497314453 y=0.768695831298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760303497314453 × 217)
    floor (0.760303497314453 × 131072)
    floor (99654.5)     		tx = 99654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768695831298828 × 217)
    floor (0.768695831298828 × 131072)
    floor (100754.5)     		ty = 100754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99654 / 100754 ti = "17/99654/100754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99654/100754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99654 ÷ 217
    99654 ÷ 131072     		x = 0.760299682617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100754 ÷ 217
    100754 ÷ 131072     		y = 0.768692016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760299682617188 × 2 - 1) × π
    0.520599365234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63551114
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768692016601562 × 2 - 1) × π
    -0.537384033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68824173081914
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63551114} λ = 1.63551114}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68824173081914))-π/2
    2×atan(0.184844244374557)-π/2
    2×0.182781160743852-π/2
    0.365562321487705-1.57079632675     		φ = -1.20523401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63551114} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.707886°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20523401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.054822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99654 KachelY 100754 1.63551114 -1.20523401 93.707886 -69.054822
    Oben rechts KachelX + 1 99655 KachelY 100754 1.63555908 -1.20523401 93.710632 -69.054822
    Unten links KachelX 99654 KachelY + 1 100755 1.63551114 -1.20525114 93.707886 -69.055804
    Unten rechts KachelX + 1 99655 KachelY + 1 100755 1.63555908 -1.20525114 93.710632 -69.055804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20523401--1.20525114) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dl = 109.135230000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20523401--1.20525114) × R
    1.71300000000318e-05 × 6371000     		dr = 109.135230000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63551114-1.63555908) × cos(-1.20523401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357474511494931 × 6371000     		do = 109.181917204406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63551114-1.63555908) × cos(-1.20525114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357458513343293 × 6371000     		du = 109.177030957104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20523401)-sin(-1.20525114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357474511494931-0.357458513343293)×R²
    abs(1.63555908-1.63551114)×1.59981516371088e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59981516371088e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59981516371088e-05×40589641000000     		ar = 11915.3270153177m²