Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99653 / 100685
↖ ↑ ↗
← S 68.986971°
E 93.705139°		 ← 109.52 m → S 68.986971°
E 93.707886°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
S 68.987956°
E 93.705139°		 ← 109.51 m →
11 994 m²		 S 68.987956°
E 93.707886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760295867919922 y=0.768169403076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760295867919922 × 217)
    floor (0.760295867919922 × 131072)
    floor (99653.5)     		tx = 99653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768169403076172 × 217)
    floor (0.768169403076172 × 131072)
    floor (100685.5)     		ty = 100685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99653 / 100685 ti = "17/99653/100685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99653/100685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99653 ÷ 217
    99653 ÷ 131072     		x = 0.760292053222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100685 ÷ 217
    100685 ÷ 131072     		y = 0.768165588378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760292053222656 × 2 - 1) × π
    0.520584106445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.63546320
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768165588378906 × 2 - 1) × π
    -0.536331176757812 × 3.1415926535     		Φ = -1.68493408474535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63546320} λ = 1.63546320}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68493408474535))-π/2
    2×atan(0.185456655975796)-π/2
    2×0.183373274269302-π/2
    0.366746548538605-1.57079632675     		φ = -1.20404978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63546320} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.705139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20404978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.986971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99653 KachelY 100685 1.63546320 -1.20404978 93.705139 -68.986971
    Oben rechts KachelX + 1 99654 KachelY 100685 1.63551114 -1.20404978 93.707886 -68.986971
    Unten links KachelX 99653 KachelY + 1 100686 1.63546320 -1.20406697 93.705139 -68.987956
    Unten rechts KachelX + 1 99654 KachelY + 1 100686 1.63551114 -1.20406697 93.707886 -68.987956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20404978--1.20406697) × R
    1.71899999998892e-05 × 6371000     		dl = 109.517489999294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20404978--1.20406697) × R
    1.71899999998892e-05 × 6371000     		dr = 109.517489999294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63546320-1.63551114) × cos(-1.20404978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35858024008504 × 6371000     		do = 109.519635177279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63546320-1.63551114) × cos(-1.20406697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358564193185831 × 6371000     		du = 109.514734041214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20404978)-sin(-1.20406697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35858024008504-0.358564193185831)×R²
    abs(1.63551114-1.63546320)×1.60468992088658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60468992088658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60468992088658e-05×40589641000000     		ar = 11994.0471704642m²