Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99651 / 100679
↖ ↑ ↗
← S 68.981061°
E 93.699646°		 ← 109.55 m → S 68.981061°
E 93.702393°		 →
↑
109.52 m
↓
↑
109.52 m
↓
S 68.982046°
E 93.699646°		 ← 109.54 m →
11 997 m²		 S 68.982046°
E 93.702393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760280609130859 y=0.768123626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760280609130859 × 217)
    floor (0.760280609130859 × 131072)
    floor (99651.5)     		tx = 99651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768123626708984 × 217)
    floor (0.768123626708984 × 131072)
    floor (100679.5)     		ty = 100679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99651 / 100679 ti = "17/99651/100679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99651/100679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99651 ÷ 217
    99651 ÷ 131072     		x = 0.760276794433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100679 ÷ 217
    100679 ÷ 131072     		y = 0.768119812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760276794433594 × 2 - 1) × π
    0.520553588867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.63536733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768119812011719 × 2 - 1) × π
    -0.536239624023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.68464646334763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63536733} λ = 1.63536733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68464646334763))-π/2
    2×atan(0.18551000495019)-π/2
    2×0.183424848867801-π/2
    0.366849697735602-1.57079632675     		φ = -1.20394663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63536733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.699646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20394663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.981061°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99651 KachelY 100679 1.63536733 -1.20394663 93.699646 -68.981061
    Oben rechts KachelX + 1 99652 KachelY 100679 1.63541527 -1.20394663 93.702393 -68.981061
    Unten links KachelX 99651 KachelY + 1 100680 1.63536733 -1.20396382 93.699646 -68.982046
    Unten rechts KachelX + 1 99652 KachelY + 1 100680 1.63541527 -1.20396382 93.702393 -68.982046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20394663--1.20396382) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dl = 109.517490000709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20394663--1.20396382) × R
    1.71900000001113e-05 × 6371000     		dr = 109.517490000709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63536733-1.63541527) × cos(-1.20394663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358676528589607 × 6371000     		do = 109.54904416504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63536733-1.63541527) × cos(-1.20396382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.358660482326285 × 6371000     		du = 109.544143223191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20394663)-sin(-1.20396382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358676528589607-0.358660482326285)×R²
    abs(1.63541527-1.63536733)×1.60462633219116e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60462633219116e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60462633219116e-05×40589641000000     		ar = 11997.2679798443m²