Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99650 / 100847
↖ ↑ ↗
← S 69.145942°
E 93.696899°		 ← 108.73 m → S 69.145942°
E 93.699646°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
S 69.146920°
E 93.696899°		 ← 108.72 m →
11 817 m²		 S 69.146920°
E 93.699646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760272979736328 y=0.769405364990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760272979736328 × 217)
    floor (0.760272979736328 × 131072)
    floor (99650.5)     		tx = 99650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769405364990234 × 217)
    floor (0.769405364990234 × 131072)
    floor (100847.5)     		ty = 100847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99650 / 100847 ti = "17/99650/100847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99650/100847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99650 ÷ 217
    99650 ÷ 131072     		x = 0.760269165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100847 ÷ 217
    100847 ÷ 131072     		y = 0.769401550292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760269165039062 × 2 - 1) × π
    0.520538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63531939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769401550292969 × 2 - 1) × π
    -0.538803100585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.6926998624838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63531939} λ = 1.63531939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6926998624838))-π/2
    2×atan(0.184022018552972)-π/2
    2×0.181985983380378-π/2
    0.363971966760756-1.57079632675     		φ = -1.20682436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63531939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.696899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20682436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.145942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99650 KachelY 100847 1.63531939 -1.20682436 93.696899 -69.145942
    Oben rechts KachelX + 1 99651 KachelY 100847 1.63536733 -1.20682436 93.699646 -69.145942
    Unten links KachelX 99650 KachelY + 1 100848 1.63531939 -1.20684142 93.696899 -69.146920
    Unten rechts KachelX + 1 99651 KachelY + 1 100848 1.63536733 -1.20684142 93.699646 -69.146920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20682436--1.20684142) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20682436--1.20684142) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63531939-1.63536733) × cos(-1.20682436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.35598879578059 × 6371000     		do = 108.728141382924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63531939-1.63536733) × cos(-1.20684142) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355972853325578 × 6371000     		du = 108.723272146805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20682436)-sin(-1.20684142))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35598879578059-0.355972853325578)×R²
    abs(1.63536733-1.63531939)×1.59424550113529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59424550113529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59424550113529e-05×40589641000000     		ar = 11817.3166113496m²