Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99648 / 97549
↖ ↑ ↗
← S 65.672987°
E 93.691406°		 ← 125.82 m → S 65.672987°
E 93.694153°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.674119°
E 93.691406°		 ← 125.81 m →
15 831 m²		 S 65.674119°
E 93.694153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760257720947266 y=0.744243621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760257720947266 × 217)
    floor (0.760257720947266 × 131072)
    floor (99648.5)     		tx = 99648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744243621826172 × 217)
    floor (0.744243621826172 × 131072)
    floor (97549.5)     		ty = 97549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99648 / 97549 ti = "17/99648/97549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99648/97549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99648 ÷ 217
    99648 ÷ 131072     		x = 0.76025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97549 ÷ 217
    97549 ÷ 131072     		y = 0.744239807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76025390625 × 2 - 1) × π
    0.5205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63522352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744239807128906 × 2 - 1) × π
    -0.488479614257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53460396753686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63522352} λ = 1.63522352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53460396753686))-π/2
    2×atan(0.215541035516264)-π/2
    2×0.212293233613812-π/2
    0.424586467227625-1.57079632675     		φ = -1.14620986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63522352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14620986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.672987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99648 KachelY 97549 1.63522352 -1.14620986 93.691406 -65.672987
    Oben rechts KachelX + 1 99649 KachelY 97549 1.63527146 -1.14620986 93.694153 -65.672987
    Unten links KachelX 99648 KachelY + 1 97550 1.63522352 -1.14622961 93.691406 -65.674119
    Unten rechts KachelX + 1 99649 KachelY + 1 97550 1.63527146 -1.14622961 93.694153 -65.674119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14620986--1.14622961) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14620986--1.14622961) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63522352-1.63527146) × cos(-1.14620986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411944001731522 × 6371000     		do = 125.818301567329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63522352-1.63527146) × cos(-1.14622961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411926005270205 × 6371000     		du = 125.812804984814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14620986)-sin(-1.14622961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411944001731522-0.411926005270205)×R²
    abs(1.63527146-1.63522352)×1.79964613177264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79964613177264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79964613177264e-05×40589641000000     		ar = 15831.0250764836m²