Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 99647 / 100850
↖ ↑ ↗
← S 69.148875°
E 93.688659°		 ← 108.71 m → S 69.148875°
E 93.691406°		 →
↑
108.69 m
↓
↑
108.69 m
↓
S 69.149853°
E 93.688659°		 ← 108.71 m →
11 816 m²		 S 69.149853°
E 93.691406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100850 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760250091552734 y=0.769428253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760250091552734 × 217)
    floor (0.760250091552734 × 131072)
    floor (99647.5)     		tx = 99647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769428253173828 × 217)
    floor (0.769428253173828 × 131072)
    floor (100850.5)     		ty = 100850
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99647 / 100850 ti = "17/99647/100850"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99647/100850.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99647 ÷ 217
    99647 ÷ 131072     		x = 0.760246276855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100850 ÷ 217
    100850 ÷ 131072     		y = 0.769424438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760246276855469 × 2 - 1) × π
    0.520492553710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.63517558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769424438476562 × 2 - 1) × π
    -0.538848876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69284367318266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63517558} λ = 1.63517558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69284367318266))-π/2
    2×atan(0.183995556120714)-π/2
    2×0.18196038760158-π/2
    0.363920775203161-1.57079632675     		φ = -1.20687555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63517558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.688659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20687555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.148875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99647 KachelY 100850 1.63517558 -1.20687555 93.688659 -69.148875
    Oben rechts KachelX + 1 99648 KachelY 100850 1.63522352 -1.20687555 93.691406 -69.148875
    Unten links KachelX 99647 KachelY + 1 100851 1.63517558 -1.20689261 93.688659 -69.149853
    Unten rechts KachelX + 1 99648 KachelY + 1 100851 1.63522352 -1.20689261 93.691406 -69.149853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20687555--1.20689261) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dl = 108.689260000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20687555--1.20689261) × R
    1.70600000000132e-05 × 6371000     		dr = 108.689260000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63517558-1.63522352) × cos(-1.20687555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355940958759665 × 6371000     		do = 108.713530725409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63517558-1.63522352) × cos(-1.20689261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.355925015993796 × 6371000     		du = 108.708661394346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20687555)-sin(-1.20689261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355940958759665-0.355925015993796)×R²
    abs(1.63522352-1.63517558)×1.59427658690259e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.59427658690259e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.59427658690259e-05×40589641000000     		ar = 11815.7285849357m²