Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99644 / 100755
↖ ↑ ↗
← S 69.055804°
E 93.680420°		 ← 109.18 m → S 69.055804°
E 93.683167°		 →
↑
109.20 m
↓
↑
109.20 m
↓
S 69.056786°
E 93.680420°		 ← 109.17 m →
11 922 m²		 S 69.056786°
E 93.683167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760227203369141 y=0.768703460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760227203369141 × 217)
    floor (0.760227203369141 × 131072)
    floor (99644.5)     		tx = 99644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768703460693359 × 217)
    floor (0.768703460693359 × 131072)
    floor (100755.5)     		ty = 100755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99644 / 100755 ti = "17/99644/100755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99644/100755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99644 ÷ 217
    99644 ÷ 131072     		x = 0.760223388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100755 ÷ 217
    100755 ÷ 131072     		y = 0.768699645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760223388671875 × 2 - 1) × π
    0.52044677734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.63503177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768699645996094 × 2 - 1) × π
    -0.537399291992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.68828966771876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63503177} λ = 1.63503177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68828966771876))-π/2
    2×atan(0.184835383726947)-π/2
    2×0.182772592825652-π/2
    0.365545185651304-1.57079632675     		φ = -1.20525114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63503177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.680420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20525114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.055804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99644 KachelY 100755 1.63503177 -1.20525114 93.680420 -69.055804
    Oben rechts KachelX + 1 99645 KachelY 100755 1.63507971 -1.20525114 93.683167 -69.055804
    Unten links KachelX 99644 KachelY + 1 100756 1.63503177 -1.20526828 93.680420 -69.056786
    Unten rechts KachelX + 1 99645 KachelY + 1 100756 1.63507971 -1.20526828 93.683167 -69.056786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20525114--1.20526828) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dl = 109.198939999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20525114--1.20526828) × R
    1.71399999999711e-05 × 6371000     		dr = 109.198939999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63503177-1.63507971) × cos(-1.20525114) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357458513343293 × 6371000     		do = 109.177030957104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63503177-1.63507971) × cos(-1.20526828) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.357442505747413 × 6371000     		du = 109.172141825286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20525114)-sin(-1.20526828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.357458513343293-0.357442505747413)×R²
    abs(1.63507971-1.63503177)×1.60075958799966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.60075958799966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.60075958799966e-05×40589641000000     		ar = 11921.7491092958m²