Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99641 / 100710
↖ ↑ ↗
← S 69.011579°
E 93.672180°		 ← 109.40 m → S 69.011579°
E 93.674927°		 →
↑
109.39 m
↓
↑
109.39 m
↓
S 69.012562°
E 93.672180°		 ← 109.39 m →
11 967 m²		 S 69.012562°
E 93.674927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760204315185547 y=0.768360137939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760204315185547 × 217)
    floor (0.760204315185547 × 131072)
    floor (99641.5)     		tx = 99641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768360137939453 × 217)
    floor (0.768360137939453 × 131072)
    floor (100710.5)     		ty = 100710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99641 / 100710 ti = "17/99641/100710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99641/100710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99641 ÷ 217
    99641 ÷ 131072     		x = 0.760200500488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100710 ÷ 217
    100710 ÷ 131072     		y = 0.768356323242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760200500488281 × 2 - 1) × π
    0.520401000976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.63488796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768356323242188 × 2 - 1) × π
    -0.536712646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.68613250723586
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63488796} λ = 1.63488796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68613250723586))-π/2
    2×atan(0.185234533673028)-π/2
    2×0.183158529105656-π/2
    0.366317058211312-1.57079632675     		φ = -1.20447927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63488796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.672180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20447927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.011579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99641 KachelY 100710 1.63488796 -1.20447927 93.672180 -69.011579
    Oben rechts KachelX + 1 99642 KachelY 100710 1.63493590 -1.20447927 93.674927 -69.011579
    Unten links KachelX 99641 KachelY + 1 100711 1.63488796 -1.20449644 93.672180 -69.012562
    Unten rechts KachelX + 1 99642 KachelY + 1 100711 1.63493590 -1.20449644 93.674927 -69.012562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20447927--1.20449644) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dl = 109.390070000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20447927--1.20449644) × R
    1.71700000000108e-05 × 6371000     		dr = 109.390070000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63488796-1.63493590) × cos(-1.20447927) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.358179278579174 × 6371000     		do = 109.397171213145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63488796-1.63493590) × cos(-1.20449644) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.35816324770731 × 6371000     		du = 109.392274972243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20447927)-sin(-1.20449644))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358179278579174-0.35816324770731)×R²
    abs(1.63493590-1.63488796)×1.60308718639146e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.60308718639146e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.60308718639146e-05×40589641000000     		ar = 11966.6964170503m²