Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99641 / 100697
↖ ↑ ↗
← S 68.998786°
E 93.672180°		 ← 109.46 m → S 68.998786°
E 93.674927°		 →
↑
109.45 m
↓
↑
109.45 m
↓
S 68.999770°
E 93.672180°		 ← 109.46 m →
11 981 m²		 S 68.999770°
E 93.674927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760204315185547 y=0.768260955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760204315185547 × 217)
    floor (0.760204315185547 × 131072)
    floor (99641.5)     		tx = 99641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768260955810547 × 217)
    floor (0.768260955810547 × 131072)
    floor (100697.5)     		ty = 100697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99641 / 100697 ti = "17/99641/100697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99641/100697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99641 ÷ 217
    99641 ÷ 131072     		x = 0.760200500488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100697 ÷ 217
    100697 ÷ 131072     		y = 0.768257141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760200500488281 × 2 - 1) × π
    0.520401000976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.63488796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768257141113281 × 2 - 1) × π
    -0.536514282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.68550932754079
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63488796} λ = 1.63488796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68550932754079))-π/2
    2×atan(0.185350004048897)-π/2
    2×0.18327016660601-π/2
    0.366540333212021-1.57079632675     		φ = -1.20425599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63488796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.672180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20425599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.998786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99641 KachelY 100697 1.63488796 -1.20425599 93.672180 -68.998786
    Oben rechts KachelX + 1 99642 KachelY 100697 1.63493590 -1.20425599 93.674927 -68.998786
    Unten links KachelX 99641 KachelY + 1 100698 1.63488796 -1.20427317 93.672180 -68.999770
    Unten rechts KachelX + 1 99642 KachelY + 1 100698 1.63493590 -1.20427317 93.674927 -68.999770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20425599--1.20427317) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dl = 109.453779999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20425599--1.20427317) × R
    1.717999999995e-05 × 6371000     		dr = 109.453779999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63488796-1.63493590) × cos(-1.20425599) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.35838773565269 × 6371000     		do = 109.460839369082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63488796-1.63493590) × cos(-1.20427317) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.358371696818563 × 6371000     		du = 109.4559406963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20425599)-sin(-1.20427317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35838773565269-0.358371696818563)×R²
    abs(1.63493590-1.63488796)×1.60388341266526e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.60388341266526e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.60388341266526e-05×40589641000000     		ar = 11980.6345421814m²