Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 99639 / 100713
↖ ↑ ↗
← S 69.014530°
E 93.666687°		 ← 109.36 m → S 69.014530°
E 93.669433°		 →
↑
109.33 m
↓
↑
109.33 m
↓
S 69.015513°
E 93.666687°		 ← 109.35 m →
11 956 m²		 S 69.015513°
E 93.669433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 99639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.760189056396484 y=0.768383026123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.760189056396484 × 217)
    floor (0.760189056396484 × 131072)
    floor (99639.5)     		tx = 99639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.768383026123047 × 217)
    floor (0.768383026123047 × 131072)
    floor (100713.5)     		ty = 100713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 99639 / 100713 ti = "17/99639/100713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/99639/100713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 99639 ÷ 217
    99639 ÷ 131072     		x = 0.760185241699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100713 ÷ 217
    100713 ÷ 131072     		y = 0.768379211425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.760185241699219 × 2 - 1) × π
    0.520370483398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.63479209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.768379211425781 × 2 - 1) × π
    -0.536758422851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.68627631793472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63479209} λ = 1.63479209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68627631793472))-π/2
    2×atan(0.185207896880661)-π/2
    2×0.183132775828363-π/2
    0.366265551656726-1.57079632675     		φ = -1.20453078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63479209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.666687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20453078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.014530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 99639 KachelY 100713 1.63479209 -1.20453078 93.666687 -69.014530
    Oben rechts KachelX + 1 99640 KachelY 100713 1.63484002 -1.20453078 93.669433 -69.014530
    Unten links KachelX 99639 KachelY + 1 100714 1.63479209 -1.20454794 93.666687 -69.015513
    Unten rechts KachelX + 1 99640 KachelY + 1 100714 1.63484002 -1.20454794 93.669433 -69.015513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20453078--1.20454794) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dl = 109.326360000456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20453078--1.20454794) × R
    1.71600000000716e-05 × 6371000     		dr = 109.326360000456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63479209-1.63484002) × cos(-1.20453078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358131185646818 × 6371000     		do = 109.359665855486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63479209-1.63484002) × cos(-1.20454794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.358115163794973 × 6371000     		du = 109.354773390283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20453078)-sin(-1.20454794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.358131185646818-0.358115163794973)×R²
    abs(1.63484002-1.63479209)×1.60218518446831e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.60218518446831e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.60218518446831e-05×40589641000000     		ar = 11955.6267614214m²